晓查 发自 凹非寺
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一元二次方程的解法及举例(还记得一元二次方程求解公式吗)(1)

你是否还记得上面的公式是什么?没错,它就是一元二次方程的求解公式。


相信很多人在初中学习它的时候都很痛苦,因为这个公式实在有点难记。即使你到今天能够记得,还能回忆起当初的推导过程吗?

这个公式可能真的不太适合初学者。来自CMU数学系的副教授,同时也是美国奥数国家队教练的罗博深也注意到了这一点,他在博客中提出了一种更容易学会的求解方法。

一元二次方程的解法及举例(还记得一元二次方程求解公式吗)(2)

罗博深一直致力于中学生的数学教育,在他的指导下,美国分别获得了国际奥林匹克数学竞赛(IMO)2015、2016、2018和2019年的冠军。

下面让我们来看看他是如何求解的。

求解更容易

一元二次方程的一般形式为ax2 bx c=0,为了简化起见,不妨令a=1。(即使不等于1,也可以两边同时除以a)

x2 Bx C=0

假设这个方式的两个解(或者叫根)分别是RS,那么

x2 Bx C = (x-R)(x-S) = 0

将右边的式子展开:

x2 Bx C = x2-(R S)x RS

两边的对应系数应该相等:

B=-(R S); C=RS

所以R和S的和应该等于-B,它俩的平均数就是-B/2,我们可以令这两数等于-B/2±z,而R和S的乘积又等于C,所以(-B/2 z)(-B/2-z)=C,即:

一元二次方程的解法及举例(还记得一元二次方程求解公式吗)(3)

在上一步里,我们用到了平方差公式。上面的方程很容易求z:

一元二次方程的解法及举例(还记得一元二次方程求解公式吗)(4)

所以方程的解是:

一元二次方程的解法及举例(还记得一元二次方程求解公式吗)(5)

这个公式不需要记,罗博深教授希望你记下来的是求解过程。我们先来举个例子:

x2-2x-24=0

根据上面的求解过程,我们可以知道这两个解之和为2,因此我们可以假设它们分别是1 z和1-z,他们的乘积是-24:

(1 z)(1-z)=1-z2=-24

所以

z2=25 → z=±5

因此方程的两个解分别是1 5=61-5=-4。这种方法还适用于根是虚数的情况。

从古人那里获得启发

为何会想到这种求解方法,罗博深教授在博客里说,他是参考了一千多年以前古代的巴比伦人和希腊人的解法。

其中就包括3世纪的著名希腊数学家丢番图和7世纪的印度数学家婆罗摩笈多等等。

这些古人求解的其实是一个二元二次方程组:x y=Axy=B。这个方程组等价于x2-Ax B=0。

一元二次方程的解法及举例(还记得一元二次方程求解公式吗)(6)

罗博深指出,古代人知道方程组如何求解,却在很长一段时间都不知道一元二次方程解的标准形式。因此教科书里的方法显然更不易被理解。

让代码更具可读性

罗博深教授提出的是一个并不深奥的推导方法,却在Hacker News论坛上引起了广泛讨论。

有位网友表示,原来的公式很好记,用完全平方公式的配方法也能很容易求解。

而另一位来自社区大学的老师说,现在的学生数学基础并不好,很多人并不知道抛物线方程、完全平方公式、因式分解等概念,这种方法确实非常好。

除去一些批评,还是有网友认为,这种方式转移了对数学推导过程的思考,可以看做在人脑上运行代码。

而且这种方法用在编程里也让代码更具有可读性。

如果我们知道了一元二次方程两个解的算术平均数m和几何平均数g:

m = (r1 r2) / 2; g = sqrt(r1 * r2)

那么这两个解等于:

r1 = m - sqrt(m^2 - g^2) r2 = m sqrt(m^2 - g^2)

在罗博深教授的解法里,m=-B/2、g=sqrt(C)。这串代码显然比下面的代码更容易理解。

r1 = (-b - sqrt(b^2 - 4 * a * c)) / (2 * a) r2 = (-b sqrt(b^2 - 4 * a * c)) / (2 * a)

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论文地址:
https://www.poshenloh.com/quadratic

网友讨论:
https://news.ycombinator.com/item?id=21720656

博客链接:
https://www.poshenloh.com/quadraticdetail

— 完 —

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