2022年全国高中数学联赛江西省预赛第10题如下:
王扬老师给出了一个简便的解法:
这里用到了一个二级结论:
该不等式可以使用赫尔德不等式来证明。这里给出几个题目,通过这几个题目可以看到使用基本不等式就可以解决这个问题,并能推出一般形式,这个过程又可以引出一些相关知识点:先来看一道题目:
将变量增加一个,有以下题目:
可以看到,前面的二级结论就是这个例题11(写的形式有所不同),这个可以推出下面一般形式:
这个一般化的结论可以使用例题中的方法来证明,不过需要用到二项式的一个变式,如下:
当然,也可以使用如下构造函数加琴生(Jensen)不等式的方法来证明: