1.函数的周期性问题:

①若f(x)=-f(x k),则T=2k;

②若f(x)=m/(x k)(m不为0),则T=2k;若f(x)=f(x k) f(x-k),则T=6k。

注意点:

a.周期函数,周期必无限

b.周期函数未必存在最小周期,如:常数函数。

c.周期函数加周期函数未必是周期函数。

③关于对称问题

若在R上(下同)满足:f(a x)=f(b-x)恒成立,对称轴为x=(a b)/2;

函数y=f(a x)与y=f(b-x)的图像关于x=(b-a)/2对称;

若f(a x) f(a-x)=2b,则f(x)图像关于(a,b)中心对称。


高中学过的定理(高中数学必须熟练于心的11类定理)(1)


2.函数奇偶性。

①对于属于R上的奇函数有f(0)=0;

②对于含参函数,奇函数没有偶次方项,偶函数没有奇次方项


3.函数单调性:

若函数在区间D上单调,则函数值随着自变量的增大(减小)而增大(减小)。


4.函数对称性:

①若f(x)满足f(a x) f(b-x)=c则函数关于(a b/2,c/2)成中心对称。

②若f(x)满足f(a x)=f(b-x)则函数关于直线x=a b/2成轴对称。

5.函数y=(sinx)/x是偶函数。在(0,π)上单调递减,(-π,0)上单调递增。利用上述性质可以比较大小。

6.函数y=(lnx)/x在(0,e)上单调递增,在(e, ∞)上单调递减。另外y=x²(1/x)与该函数的单调性一致。


高中学过的定理(高中数学必须熟练于心的11类定理)(2)


7.复合函数。

(1)复合函数奇偶性:内偶则偶,内奇同外。

(2)复合函数单调性:同增异减。


8.数列定律。

等差数列中:S(n)、S(2n)-S(n)、S(3n)-S(2n)成等差。


9.隔项相消。对于Sn=1/(1×3) 1/(2×4) 1/(3×5) … 1/[n(n 2)]=1/2[1 1/2-1/(n 1)-1/(n 2)]

注:隔项相加保留四项,即首两项,尾两项。


10.面积公式:S=1/2∣mq-np∣其中向量AB=(m,n),向量BC=(p,q)注:这个公式可以解决已知三角形三点坐标求面积的问题!


11.空间立体几何中:以下命题均错。

①空间中不同三点确定一个平面;

②垂直同一直线的两直线平行;

③两组对边分别相等的四边形是平行四边形;

④如果一条直线与平面内无数条直线垂直,则直线垂直平面;

⑤有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱;

⑥有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体都是棱锥。


12.所有棱长均相等的棱锥可以是三、四、五棱锥。


13.求f(x)=∣x-1∣ ∣x-2∣ ∣x-3∣ … ∣x-n∣(n为正整数)的最小值。答案为:当n为奇数,最小值为(n²-1)/4,在x=(n 1)/2时取到;当n为偶数时,最小值为n²/4,在x=n/2或n/2 1时取到。


14.椭圆中焦点三角形面积公式:S=b²tan(A/2)在双曲线中:S=b²/tan(A/2)说明:适用于焦点在x轴,且标准的圆锥曲线。A为两焦半径夹角。


15.[转化思想]切线长l=√(d²-r²)d表示圆外一点到圆心得距离,r为圆半径,而d最小为圆心到直线的距离。


高中学过的定理(高中数学必须熟练于心的11类定理)(3)


16.对于y²=2px,过焦点的互相垂直的两弦AB、CD,它们的和最小为8p。


17.易错点:若f(x a)[a任意]为奇函数,那么得到的结论是f(x a)=-f(-x a)〔等式右边不是-f(-x-a)〕,同理如果f(x a)为偶函数,可得f(x a)=f(-x a)牢记!


18.三角形垂心定理.

①向量OH=向量OA 向量OB 向量OC(O为三角形外心,H为垂心

②若三角形的三个顶点都在函数y=1/x的图象上,则它的垂心也在这个函数图象上。


19.与三角形有关的定理:

①在非Rt△中,有tanA tanB tanC=tanAtanBtanC

②任意三角形射影定理(又称第一余弦定理):在△ABC中a=bcosC ccosB;b=ccosA acosC;c=acosB bcosA

③任意三角形内切圆半径r=2S/a b c(S为面积)

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