公式
sinαsinβ=-[1][cos（α β）-cos（α-β）]/2【注意等式右边前端的负号】
cosαcosβ=[cos（α β） cos（α-β）]/2
sinαcosβ=[sin（α β） sin（α-β）]/2
cosαsinβ=[sin（α β）-sin（α-β）]/2
这里用到了sin（-α）=-sinα 即sin（α-β）= - sin（β-α）
证明：
法1
积化和差恒等式可以通过展开角的和差恒等式的右手端来证明。
即只需要把等式右边用两角和差公式拆开就能证明：
sinαsinβ=-1/2[-2sinαsinβ]
=-1/2[(cosαcosβ-sinαsinβ）-(cosαcosβ sinαsinβ）]
=-1/2[cos（α β）-cos（α-β）]
其他的3个式子也是相同的证明方法。
（该证明法逆向推导可用于和差化积的计算，参见和差化积）
法2
根据欧拉公式，e^ix=cosx isinx
令x=a b
得e ^I（a b）=e^ia*e^ib=(cosa isina)(cosb isinb)=cosacosb-sinasinb i(sinacosb sinbcosa)=cos（a b） isin（a b）
所以cos(a b)=cosacosb-sinasinb
sin(a b)=sinacosb sinbcosa
记忆方法
积化和差公式的形式比较复杂，记忆中以下几个方面是难点，下面指出了特点各自的简单记忆方法。
这一点最简单的记忆方法是通过三角函数的值域判断。sin和cos的值域都是[-1,1]，其和差的值域应该 是[-2,2]，而积的值域却是[-1,1]，因此除以2是必须的。
也可以通过其证明来记忆，因为展开两角和差公式后，未抵消的两项相同而造成有系数2
如：
cos（α-β）-cos（α β）
=(cosαcosβ sinαsinβ）-(cosαcosβ-sinαsinβ）
=2sinαsinβ
故最后需要除以2。
向量公式向量的向量积
定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量，记作a×b。若a、b不共线，则a×b的模是：∣a×b∣=|a|•|b|•sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b共线，则a×b=0。
向量的向量积性质：
∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。
a×a=0。
a‖b〈=〉a×b=0。
向量的向量积运算律
a×b=-b×a；
（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）；
（a b）×c=a×c b×c.
注：向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有意义的。
向量的加法
向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
AB BC=AC。
a b=(x x'，y y')。
a 0=0 a=a。
向量加法的运算律：
交换律：a b=b a；
结合律：(a b) c=a (b c)。
向量的减法
如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a b=0. 0的反向量为0
AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”
a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y').
数乘向量
实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣。
当λ＞0时，λa与a同方向；
当λ＜0时，λa与a反方向；
当λ=0时，λa=0，方向任意。
当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。
注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。
实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；
当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍。
数与向量的乘法满足下面的运算律
结合律：(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb)。
向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ μ)a=λa μa.
数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a b)=λa λb.
数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。
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