严格来讲,工程角度的微积分,到这篇结束了。虽然题目是场论,但这里讨论一下三度——梯度、散度和旋度。弄清场论的前提是弄楚这三度。就像理解多元函数微积分,基本功是矢量运算。

关于散度和旋度,之前有两篇文章,可以参考,这里就不再写了。

微积分笔记——斯托克斯公式的物理意义

微积分笔记——高斯公式的物理意义

这里沿着这两篇文章继续讨论两个问题。

1 散度和旋度的物理意义

根据之前的分析,我们可以进一步理解散度和旋度。

设空间中有一个封闭区域,内部有一个源(或数个源),以某种方式形成一个矢量场,则这个矢量场对区域边界有两个作用:

如果这个源本身不带有自旋,可能对边界没有“切向”作用,如点电荷产生的电场。如果这个源本身在旋转,则可能对边界起到旋转作用。想象一个水桶,底部有一个漏点,桶里的水流入该漏点并绕着漏点发生旋转。水流场可以认为是一个矢量场。如果围着漏点,放置一根圆形的橡皮筋。则这根橡皮筋一方面受到水流冲击有缩小的趋势,另一方面会顺着涡流的旋转而旋转。这就是散度和旋度。如果这个水桶放在赤道上,则这个漏点不产生旋涡,就相当于一个没有自旋的矢量场。

2 还有没有其他的“度”

从外微分算子考察:

0阶外微分形式的外微分算子运算

极坐标下的散度计算公式(微积分笔记散度)(1)

一阶外微分形式的外微分算子运算

极坐标下的散度计算公式(微积分笔记散度)(2)

二阶外微分形式的外微分算子运算

极坐标下的散度计算公式(微积分笔记散度)(3)

对比发现:

从外微分的角度看,三维空间不可能再产生其他的度,因为三阶外微分形式的外微分算子运算为0。或者从数量场和矢量场的相互转换的角度分析:

从两类场的转化角度看,也不可能有其他的度了。

3 尾声

微积分到这里为止,已经可以算是结束了。当然,这里的“微积分”指的是古典意义上的微积分,也即在工程应用的角度看。

之后的级数,一般安排在教材的最后一章讨论。级数的概念,在工程应用的角度,是教我们如何用一系列“好函数”代替坏函数。这个好函数是容易求导求积分,容易接超越方程。什么叫“一系列”函数(即函数项级数),哪些是“好的一系列”(幂级数、三角级数、傅里叶级数),这些是在数学的范畴里严格定义和讨论的。对于工科来说,简单多了,拿来用就是。

关于傅里叶,这里开个头,下篇专门讨论。傅里叶绝对是工科的噩梦,老外工科本科四年可以说是围绕着傅里叶,江湖人称four years translate。要理解傅里叶变换,首先得理解傅里叶级数。虽然傅里叶级数是从函数项级数引出,但要彻底理解其数学意义,需要一点点线性代数的概念。

傅里叶级数,从线性代数的角度,本质上,是空间变换,用另一组正交基描述f(t)。

结合一点信号与系统,我们在时域上,f(t)可以看成一系列调制过的单位冲激函数。这个“单位冲激函数”是不是可以看成时域的“正交基”?细品!同理,傅里叶变换也是。从这个角度体会“时域”到“频域”的变换。是不是空间变换?

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