#知识辞海计划#

即使有的读者不懂数学分析(实际上笔者也不懂),可只要能看懂数学所描述的四维空间,会对数学家给出的公式进行推演,我们便能对复杂物理模型的本质略知一二。

用数学语言描述时空,表面看似复杂化了问题,实则是理解其复杂结构的捷径!因为文字描述在数学面前显得无力极了。

相信许多业余读者都有“看完物理科普文章之后一头雾水”“脑袋晕热”的体会;不错,笔者也是这样过来的。我喜欢用已有的结论反推求解过程来学习,这样大家就可以记忆重要的数学物理公式。很多读者抱怨有的数学物理逻辑分析过程看不懂,请不要担心,因为那本身就是高手的才能涉及的思维领域。如果您的数学水平还不能理解基本的“微积分”,请先恶补过后再来阅读。话不多说,让我们开始奇妙的思维之旅吧。

实验表明:瞬时相互作用在自然界中是不存在的,相互作用的最大传播速度是光速。

c=2.997·10^8 m/s

数学中的四维空间(四维时空的数学形式)(1)

1881年迈克尔孙-莫雷实验测得:光速与其传播的方向并无关系,与所选择的参考系无关。

数学中的四维空间(四维时空的数学形式)(2)

迈克尔逊-莫雷实验

信号速度:我们从微观出发,研究两个粒子A、B之间的作用,由于相对性原理A到B相互作用速度光速

事件:某一实物粒子所发生的事件可由粒子的三个坐标(x,y,z)及事件发生的时间t来决定。我们用(ds)来表示(粒子的事件)这个事件ds内涵了“粒子时空为一整体”的思想,希望大家仔细体会这个定义。

数学中的四维空间(四维时空的数学形式)(3)

向量与高维空间

定义s1为起事件,终事件为s2, 当两事件间隔逼近无穷小时,满足

ds=s1-s2

我知道你打心里想用一些数字代替上面的符号,或者想代数进去算,不过很抱歉我们做不到,事件s这个概念本身就是抽象的,然而,这种抽象性是凝练必要的。

我们引入四维矢量(ct,x,y,z)

(注意,请大家看清楚,第一个向量是光速c乘以时间而不是时间,我们要让四维向量量纲都是“米”,江湖上常见的(t,x,y,z)这种表示是不规范的)

接着引入协变分量和逆变分量 。我希望你能暂时记住这俩名词,暂且不要问太多。(由于没办法打带角标的符号,只能暂时上图代替)

数学中的四维空间(四维时空的数学形式)(4)

时空位置观:一阶四维矢量的逆变与协变关系

我们用无限逼近的两事件ds的定义,以及我们暂时不用理解的非欧几何,再由暂时理解不了的数学方法推出这个公式

ds²=c²dt²-dx²-dy²-dz²

s,ds,ds²,你是不是有点糊涂了? s表示事件ds表示两无限逼近事件间隔ds²表示事件时空(ct,x,y,z)组成,满足非欧几何的数学关系

伽利略变换和洛伦兹变换

我们业余爱好者并不需要知道它们推导来的,只要知道是什么,什么公式、怎么用、如何正确理解就可以欣赏这些伟大法则的了。

数学中的四维空间(四维时空的数学形式)(5)

为了描述自然界中所发生的过程,必须要基于某个“参考系”,不谈参考系描述运动都是耍流氓。伽利略变换处理惯性系到惯性系的问题,洛伦兹变换处理惯性系到非惯性系,非惯性系到非惯性系的问题。当然,洛伦兹变换囊括了伽利略变换,它只是洛伦兹变换的特殊情况。

数学中的四维空间(四维时空的数学形式)(6)

惯性系:所谓惯性系,就是我们要把一个不受外力作用,以匀速运动的东西作为参考,也就是基于它去描述别的东西运动情况。(什么是真正无外力作用的呢?就算一棵呆在屋外的树还受地球给的自转加速度呢。说实话,我还真想不到。那么就假设一个理想的、实际不存在的模型去理解这一点吧)

数学中的四维空间(四维时空的数学形式)(7)

非惯性系:所谓非惯性系,自然是选一个受外力的,做变速运动的东西做参考点咯,这样的实际东西在生活中无处不在、比比皆是。依然是基于它研究别的东西的运动情况。

数学中的四维空间(四维时空的数学形式)(8)

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