设矩阵A为n阶矩阵，矩阵A＊是矩阵A的伴随矩阵，则矩阵A的秩R(A)与矩阵A*的秩R(A*)将会有以下三种关系：，我来为大家讲解一下关于矩阵的秩和其伴随矩阵秩的关系?跟着小编一起来看一看吧!
矩阵的秩和其伴随矩阵秩的关系
设矩阵A为n阶矩阵，矩阵A＊是矩阵A的伴随矩阵，则矩阵A的秩R(A)与矩阵A*的秩R(A*)将会有以下三种关系：
①如果R(A)=n，那么R(A*)=n;
②如果R(A)=n-1，那么R(A*)=1;
③如果R(A)<n-1，那么R(A*)=0。
接下来我们就一个一个地证明这三个结论。
如果R(A)=n，那么R(A*)=n我们知道矩阵与其伴随矩阵存在着这样的关系：矩阵A乘以它的伴随矩阵A*等于矩阵A的行列式乘以单位矩阵E
即 AA*=|A|E
由于矩阵A的秩为n与矩阵A的阶数相等，所以矩阵A可逆。
从而，矩阵A存在它的逆矩阵B，使得 AB=E 而且B也是可逆矩阵。
进而，BAA*=B|A|E
EA*=|A|BE
A*=|A|B
又因为矩阵可逆的充要条件为矩阵的行列式不等于零，所以矩阵A的行列式|A|≠0。
也就意味着|A|B不是零矩阵，而且|A|B的行列式不等于零。
所以，A*为可逆矩阵
所以，A*的秩为n
如果R(A)=n-1，那么R(A*)=1因为矩阵A的秩小于矩阵A的阶数，所以矩阵A不可逆。
根据矩阵可逆的充要条件，我们可以知道
矩阵A的行列式|A|=0。
从而，AA*=|A|E=0·E=0
进而，矩阵A*的每一列都是齐次线性方程组AX=0的解。
由于矩阵A的秩为n-1，所以齐次线性方程组AX=0的基础解系中向量的个数为矩阵A的列数减去矩阵A的秩，即
n-(n-1)=1
因为齐次线性方程组的每一个解都可以由其基础解系中的向量线性表示，所以矩阵A*的秩为1。
如果R(A)<n-1，那么R(A*)=0借助证明“如果R(A)=n-1，那么R(A*)=1”的过程，我们可以知道
R(A*)=n-R(A)<n-(n-1)=1
因为矩阵的秩是一个大于等于零的数，
所以，R(A*)=0。
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