该用什么公式来表达（令鬼神肃然起敬的公式）

第一章令鬼神肃然起敬的公式批评某人笨得不可救药时，经常会说:“他老是犯常识性的错误”，我来为大家讲解一下关于该用什么公式来表达?跟着小编一起来看一看吧!

该用什么公式来表达

第一章令鬼神肃然起敬的公式

批评某人笨得不可救药时，经常会说:“他老是犯常识性的错误。”

那么，如果时时刻刻遵循常识的教导，难道就不会犯错误了?

只怕未必。想到这里，脑子里立刻浮现起几十年前看过的一本法国人写的趣味数学书。尽管时间已过去数十年之久,，书中的精彩内容依旧历历在目。下面让我从书中择其精华之一，与读者分享。首先我们从三角形的面积谈起。

随便挑出3个正数，如果任意两数之和大于第三数，那么这3个正数就可作为一个三角形的边长。一旦给出了边长，那么三角形的形状和大小就完全确定了，从而也确定了它的面积。

接着，该书不慌不忙、用游戏笔墨提出了两个趣味问题，并要求大家尽量不要去计算，完全通过自己的直觉和常识说出答案。

第一个问题。今有两个三角形，三角形A的边长是5，5，6，三角形B的边长是5，5，8。请问:它们的面积相等不相等? (做这则游戏时，回答时间限定为30秒。)大多数人刚一听完问题，马上就回答:既然三角形的面积是由其三边之长来决定的，现在两条边对应相等，而第三边执存在着很大差异，那么，面积当然百分之百不相等啰！

亮出答案了：三角形A和三角形B的面积居然是完全相等的!

根据著名的海伦一秦九韶公式(前者是古希腊数学家，后者是我国宋朝的学者。两人各自独立地研究出了这个重要公式。当然，那本由法国人所写的书是决不会写出秦九韶的名字，但我们自己切切不要忘记咱们祖先的重大成就):

答案公布后，场内一片混乱!大家七嘴八舌，都觉得想不通、不理解。

终于有个小男孩站了起来：“道理再明显不过了!你们也不想想：把三边之长为3，4，5的两个直角三角形拼在一起，一种拼法是沿着边长为3的直角边去拼合，而另一种则是沿着边长为4的直角边去拼合：一个竖放，一个横放，当然面积相等啰，不相等才怪呢！”众人一听，顿时恍然大悟。

第二个问题：A三角形的三边之长是13，37，40，B三角形的三边之长是15，41，52，请在一分钟内作出正确的选择：

(1)A的面积大于B的面积；

(2) B的面积大于A的面积；

(3) A的面积同B的面积相等。

题目意思再明白不过了。由于受到刚才第一题的暗示和诱导,场内大约有4分之1的观众把答案猜为(3)；但大部分观众根据自己牢不可破的常识来推理：既然A三角形的三条边长全部都对应小于B三角形的三边（13<15，37<41，40<52)，那还用说?当然正确答案应该是（2）啰。即使是上帝或鬼神，也是这样判断的呀。

主持人公布答案了，正确答案竟然是(1)。顿时，场内就像刚烧开的沸水。大家根本不相信，难道上帝或鬼神也会犯常识性错误吗?

主持人冷冷地说：“21岁时因爱情而死于决斗的天才数学家伽罗华说过一句名言:你们可以不相信上帝，但是不能不相信数学！我还是要祭起我那个唯一的法宝——海龙一秦九韶公式来计算一下。”接着主持人在黑板上写出：

边长为13，37，40的三角形，半周长P₁=45，则

这就叫人想不通了。边长较小的三角形，面积反而较大，怎么会这样呢?

主持人于是建议大家，不妨把图形画出来看看。当然要用严格的“圆规-直尺作图法” ，按正确比例来绘制。最后发现，三边较长的那个三角形，矮而胖，横向虽然较长，然而高度太小，于是高与底边的乘积较小，结果造成了边长大、面积反而小的怪现象。

这种怪事是不是极为罕见的呢?事实表明决非如此。我们不妨把三角形的三边之长改为14，40，50；此时的半周长p=52，相应的三角形面积:

由此可见，上面的咄咄怪事并不是凤毛麟角，它一点也不稀罕，而是有无穷多的。这个结论，也许大家连做梦也想不到吧!

最后，这位法国人在故事的结尾说了一句意味深长的话：

它(指海伦一秦九韶公式)真是一个令鬼神肃然起敬的公式啊!

写到这里，我也想题诗一首，作为全文之“跋”。诗云:

数理深夺造化工，天神犹自恨未通。

火箭卫星何足道，世界有尽数无穷。

摘自《好玩的数学》，谈祥柏著。

第二章秦九韶公式及其他

方今世界各国，非常重视培养数学尖子，以高薪礼聘专家，充任数学奥林匹克学校或训练班的教练。美籍华人刘江枫教授，素为圈内人士所敬仰，就是这样一位杰出人才。

《避暑山庄》一文，介绍了杜德耐的巧妙解法，其材料即采自刘先生用英文所写的一篇长文。人们自然要问：√18,√20，√26是很特殊的无理数，如果换成别的二次根式，那又怎么办呢?

其实，一般方法是有的，而且早已被我国南宋时期的数学家秦九韶所解决了。即使是智力平庸之徒，只要机械地照代公式，即可求出正确答案，根本无需追求什么特殊的技巧。

白尚恕、沈康身、李迪、李继闵等四位中国古算专家在他们所编著的书中写道:“特别值得一提的是秦九韶的‘三斜求积公式’，即由三角形不等三边(大斜、中斜、小斜)计算三角形面积的公式：

它独立于西方的海伦(Heron，其生卒年代数学史家聚讼纷纭，各家意见有几百年的出入)公式而得来。”

这个问题在秦九韶《数书九章》中有专题讨论。此书卷五第二题就是为了解决大面积沙田的地亩测量而提出的:“问沙出田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步，欲知为田几何?"答曰:“三百十五顷。”其术文是：“以小斜幂并大斜幂，减中斜幂，余，半之。同乘于上，以小斜幂乘大斜幂，减上。余，四约之为实，开平方，得积。”若以大斜记为a，小斜记为b，中斜记为c，则秦九韶的术文实质上便是下面的公式:

由于古今度量衡不同，这里需要稍作解释:我国古代的一里等于三百步，一步为五尺，因此一千米相当于三千尺，亦即一千米等于二里。另外，一顷等于一百亩；而一亩等于六十平方丈。由此，容易算出:

1里=150丈，而1平方里=22500平方丈=375亩。

准备工作差不多了，我们即可算一算秦氏的题目，显然a=15，b=13，c= 14，代公式

84平方里=31 500亩=315顷，

与秦九韶给出的答数完全吻合!数字凑得非常整齐，这是中国古算的一大特色，使演算者取得了一种美滋滋的感受，忘却了解题的疲劳与艰辛。

有一个问题产生了，在应用海伦公式时，三条边是没有任何限制的，现在却要规定大、中小，这是否意味着有点美中不足，意味着秦九韶公式要比海伦公式“矮上一截”呢?

我这个人，历来有一点“打破沙锅问到底”的精神，不肯完全按照书本上的教导去行事，别人不敢越“雷池”一步，我却有点“离经叛道”的思想。

于是，我不理睬什么“小、中、大”的规定，令a=13,，b=14，c= 15而去代入上面的公式，此时便有

后来，我干脆“一不做，二不休”，继续设a= 15，b=14，c=13，此时便有

结果竟然还是一-样! 这时我已产生了一种信念:a、b、c是根本没有必要去分为大、中、小的!秦九韶公式并不比海伦公式差。由于它能顺利处理二次根式，甚至比海伦公式还要略胜一筹!

为了寻根刨底，追它一个水落石出，让我们把秦氏公式中根号内的式子加以整理化简，可以看到:

到此地步，人们不禁恍然大悟。原来，根号里头的，乃是一个三元四次齐次对称表达式。当然，对a、b、c三个字母的任意排列，结果都是一模一样的!大、中、小之分，完全是个赘疣(you)了。

常言道:“送佛要送到西天。”现在让我们对海伦公式来作一些加工吧:

为了方便起见与前后体例的一致，对根号内的式子按其本义代入，并进行恒等变换:

请看，那个对称式又来向我们“报到”了，这就完全证明了海伦公式与秦九韶公式的等价性!

最后，让我们来简单地说一说秦九韶其人。秦九韶字道古，自称是鲁郡人，其实他本人生于四川，后来随父到达南宋首都临安(今杭州市)，1244年曾被朝廷任命为建康府(今南京市)通判。他和南宋小朝廷的大官贾似道、吴潜等都有交往。当时统治集团内部斗争异常激烈，元军又频频南侵，宋朝统治朝不保夕。贾似道后来派他到广东梅州做地方官，最后就死在那里，寿六十余岁。

秦九韶其人性极机巧，星象、音律、算术以至营造等事无不精究。毬、马、弓、剑莫不能知。从自然科学到社会科学，从技术到文学，从游戏到武术无不通晓，实为当时我国不可多得的通才、全才。

然而他的人品不好，刘克庄骂他“暴如虎狼，毒如蛇蝎”，周密引用陈圣观的话说，“如所不喜者必遭其毒手，其险可知也”。秦在晚年时虽曾有过几次任命，都因遭到激烈反对而宣告撤销。

笔者当年住在杭州西溪时，附近仍有一个地名叫做道古桥，1987年重新经过那里，地名依旧未改。秦九韶作为宋元时代中算家的杰出代表是当之无愧的。在这一意义上，美国科学史家萨顿评估秦氏是“他那个民族、他那个时代，并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一”。

这就是秦九韶的真面目。功绩与错误兼而有之。至于能否三七开，谁知道呢?

摘自《数学广角镜》，谈祥柏著

第三章笔记和感悟

秦九韶是伟大的数学家，他还有一个重要成就是“大衍求一术”。

三角形面积与边长和形状有关，形状与角度和底和高有关。第一章提出的问题引人深思，也是一种充要条件的训练。

学而不思惘，思而不学则殆。让我们思考一个生活中的问题：

有两台电视机，屏幕对角线都是55英寸，但是一台比例是4:3，一台是16:9。问哪台电视机屏幕面积更大？请计算两台电视机屏幕长和宽的具体尺寸。计算和思考能够帮助你深刻地理解和掌握问题的本质。

注释：

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