中考数学几何模型9：隐圆模型
名师点睛 拨开云雾 开门见山
【点睛1】触发隐圆模型的类型
（1）动点定长模型
若P为动点，但AB=AC=AP 原理：圆A中，AB=AC=AP
则B、C、P三点共圆，A圆心，AB半径 备注：常转全等或相似证明出定长
（2）直角圆周角模型
固定线段AB所对动角∠C恒为90° 原理：圆O中，圆周角为90°所对弦是直径
则A、B、C三点共圆，AB为直径 备注：常通过互余转换等证明出动角恒为直角
（3）定弦定角模型
固定线段AB所对动角∠P为定值 原理：弦AB所对同侧圆周角恒相等
则点P运动轨迹为过A、B、C三点的圆 备注：点P在优弧、劣弧上运动皆可
（4）四点共圆模型①
若动角∠A 动角∠C=180° 原理：圆内接四边形对角互补
则A、B、C、D四点共圆 备注：点A与点C在线段AB异侧
（5）四点共圆模型②
固定线段AB所对同侧动角∠P=∠C 原理：弦AB所对同侧圆周角恒相等
则A、B、C、P四点共圆 备注：点P与点C需在线段AB同侧
【点睛2】圆中旋转最值问题
条件：线段AB绕点O旋转一周，点M是线段AB上的一动点，点C是定点
（1）求CM最小值与最大值
（2）求线段AB扫过的面积
（3）求
最大值与最小值
作法：如图建立三个同心圆，作OM⊥AB，B、A、M运动路径分别为大圆、中圆、小圆
结论：①CM1最小，CM3最大
②线段AB扫过面积为大圆与小圆组成的圆环面积
③
最小值以AB为底，CM1为高；最大值以AB为底，CM2为高
典题探究 启迪思维 探究重点
例题1. 如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A`MN，连接A`C，则A`C长度的最小值是__________．
【分析】考虑△AMN沿MN所在直线翻折得到△A’MN，可得MA’=MA=1，所以A’轨迹是以M点为圆心，MA为半径的圆弧．连接CM，与圆的交点即为所求的A’，此时A’C的值最小．构造直角△MHC，勾股定理求CM，再减去A’M即可，答案为
．
变式练习>>>
1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是__________．
【分析】考虑到将△FCE沿EF翻折得到△FPE，可得P点轨迹是以F点为圆心，FC为半径的圆弧．过F点作FH⊥AB，与圆的交点即为所求P点，此时点P到AB的距离最小．由相似先求FH，再减去FP，即可得到PH．答案为1.2.
例题2. 如图，已知圆C的半径为3，圆外一定点O满足OC=5，点P为圆C上一动点，经过点O的直线l上有两点A、B，且OA=OB，∠APB=90°，l不经过点C，则AB的最小值为________．
【分析】连接OP，根据△APB为直角三角形且O是斜边AB中点，可得OP是AB的一半，若AB最小，则OP最小即可．连接OC，与圆C交点即为所求点P，此时OP最小，AB也取到最小值．答案为4.
变式练习>>>
2．如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，P、Q分别是直线BC、AB上的两个动点，AE=2，△AEQ沿EQ翻折形成△FEQ，连接PF、PD，则PF PD的最小值是_________．
答案为8.
【分析】F点轨迹是以E点为圆心，EA为半径的圆，作点D关于BC对称点D’，连接PD’，PF PD化为PF PD’．连接ED’，与圆的交点为所求F点，与BC交点为所求P点，勾股定理先求ED‘,再减去EF即可．
例题3. 如图，E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AE=DF，连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H，若正方形边长为2，则线段DH长度的最小值是________．
【分析】根据条件可知：∠DAG=∠DCG=∠ABE，易证AG⊥BE，即∠AHB=90°，所以H点轨迹是以AB为直径的圆弧当D、H、O共线时，DH取到最小值，勾股定理可求．答案为
变式练习>>>
3．如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=8，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值是_________．
答案为
【分析】∵∠PBC ∠PBA=90°，∠PBC=∠PAB，∴∠PAB ∠PBA=90°，∴∠APB=90°，
∴P点轨迹是以AB为直径的圆弧．
当O、P、C共线时，CP取到最小值，勾股定理先求OC，再减去OP即可．
例题4. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=10，点D是AC上的一个动点，以CD为直径作圆O，连接BD交圆O于点E，则AE的最小值为_________．
【分析】连接CE，由于CD为直径，故∠CED=90°，考虑到CD是动线段，故可以将此题看成定线段CB对直角∠CEB．取CB中点M，所以E点轨迹是以M为圆心、CB为直径的圆弧．连接AM，与圆弧交点即为所求E点，此时AE值最小，
．
变式练习>>>
4．如图，正方形ABCD的边长为4，动点E、F分别从点A、C同时出发，以相同的速度分别沿AB、CD向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线EF的垂线BG，垂足为点G，连接AG，则AG长的最小值为 ．
【分析】首先考虑整个问题中的不变量，仅有AE=CF，BG⊥EF，但∠BGE所对的BE边是不确定的．
重点放在AE=CF，可得EF必过正方形中心O点，连接BD，与EF交点即为O点．
∠BGO为直角且BO边为定直线，故G点轨迹是以BO为直径的圆．记BO中点为M点，当A、G、M共线时，AG取到最小值，利用Rt△AOM勾股定理先求AM，再减去GM即可．答案为
例题5. 如图，等边△ABC边长为2，E、F分别是BC、CA上两个动点，且BE=CF，连接AE、BF，交点为P点，则CP的最小值为________．
答案为
【分析】由BE=CF可推得△ABE≌△BCF，所以∠APF=60°，但∠APF所对的边AF是变化的．所以考虑∠APB=120°，其对边AB是定值．所以如图所示，P点轨迹是以点O为圆心的圆弧．（构造OA=OB且∠AOB=120°）
当O、P、C共线时，可得CP的最小值，利用Rt△OBC勾股定理求得OC，再减去OP即可．
变式练习>>>
5．在△ABC中，AB=4，∠C=60°，∠A>∠B，则BC的长的取值范围是________．
【分析】先作图，如下
答案为：
条件不多，但已经很明显，AB是定值，∠C=60°，即定边对定角．故点C的轨迹是以点O为圆心的圆弧．（作AO=BO且∠AOB=120°）题意要求∠A>∠B，即BC>AC，故点C的轨迹如下图．当BC为直径时，BC取到最大值为
，考虑∠A为△ABC中最大角，故BC为最长边，BC>AB=4．无最小值．
例题6. 如图，ABCD为正方形，O为AC、BD的交点，△DCE为Rt△，∠CED＝90°，∠DCE＝30°，若OE＝
，则正方形的面积为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【解答】解：如图，过点O作OM⊥CE于M，作ON⊥DE交ED的延长线于N，
∵∠CED＝90°，
∴四边形OMEN是矩形，
∴∠MON＝90°，
∵∠COM ∠DOM＝∠DON ∠DOM，
∴∠COM＝∠DON，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OC＝OD，
在△COM和△DON中，
∴△COM≌△DON（AAS），
∴OM＝ON，
∴四边形OMEN是正方形，
设正方形ABCD的边长为2a，
∵∠DCE＝30°，∠CED＝90°
∴DE＝a，CE＝
a， 亦可按隐圆模型解答
设DN＝x，x DE＝CE﹣x，解得：x＝
，
∴NE＝x a＝
，
∵OE＝
NE，
∴
＝
•
，
∴a＝1，
∴S正方形ABCD＝4
故选：B．
变式练习>>>
6．如图， BE，CF为△ABC的高，且交于点H，连接AH并延长交于BC于点D，求证：AD⊥BC.
例题7. 如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，AC为对角线，过点D作DF⊥AB，垂足为E，交CB延长线于点F，若AC＝CF，∠CAD＝∠CFD，DF﹣AD＝2，AB＝6，则ED的长为
．
【解答】解：∵∠CAD＝∠CFD，∴点A，F，C，D四点共圆，
∴∠FAD ∠DCF＝180°，∠FAC＝∠FDC，
∵∠DCF＝90°，∴∠FAD＝90°，
∵AC＝FC，∴∠FAC＝∠AFC，
∵DF⊥AB，∴∠ABF ∠BFE＝∠CDF ∠BFE＝90°，
∴∠ABF＝∠CDF，∴∠AFB＝∠ABF，∴AF＝AB＝6，
∵DF﹣AD＝2，∴DF＝AD 2，
∵DF2＝AF2 AD2，∴（2 AD）2＝62 AD2，解得：AD＝8，∴DF＝10，
∵∠FAD＝90°，AE⊥DF，∴△ADE∽△DAF，
∴
＝
，∴DE＝
＝
＝
，
故答案为：
．
变式练习>>>
7．（1）如图1，E是正方形ABCD的边AB上的一点，过点E作DE的垂线交∠ABC的外角平分线于点F，求证：FE=DE.
（2）如图2，正方形ABCD，∠EAF＝45°，当点E，F分别在对角线BD、边CD上，若FC＝6，则BE的长为 3
．
图1 图2
证明：（1）如图，连接DB、DF.
∵四边形ABCD是正方形，且BF是∠CBA的外角平分线，
∴∠CBF=45°，∠DBC=45°，
∴∠DBF=90°．
又∵∠DEF=90°，
∴D、E、B、F四点共圆．
∴∠DFE=∠DBE=45°（同弧所对的圆周角相等）．
∴△DEF是等腰直角三角形．
∴FE=DE．
（2）解：作△ADF的外接圆⊙O，连接EF、EC，过点E分别作EM⊥CD于M，EN⊥BC于N（如图）
∵∠ADF＝90°，∴AF为⊙O直径，
∵BD为正方形ABCD对角线，∴∠EDF＝∠EAF＝45°，
∴点E在⊙O上，∴∠AEF＝90°，
∴△AEF为等腰直角三角形，∴AE＝EF，
在△ABE与△CBE中
，∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴AE＝CE，∴CE＝EF，
∵EM⊥CF，CF＝6，∴CM＝
CF＝3，
∵EN⊥BC，∠NCM＝90°，∴四边形CMEN是矩形，∴EN＝CM＝3，
∵∠EBN＝45°，∴BE＝
EN＝3
，
故答案为：3
．
例题8. 在锐角△ABC中，AB＝4，BC＝5，∠ACB＝45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1，
点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应
点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值．
[解析]
如图，过点B作BD⊥AC，D为垂足，
因为△ABC为锐角三角形，所以点D在线段AC上，
在Rt△BCD中，BD＝BC×sin45°＝
；
①当P在AC上运动与AB垂直的时候，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB上时，EP1最小，最小值为：EP1＝BP1﹣BE＝BD﹣BE＝
﹣2；
②当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大，最大值为：EP1＝BC BE＝2 5＝7．
变式练习>>>
8．如图，已知等边△ABC的边长为8，点P是AB边上的一个动点（与点A、B不重合）．直线l是经过点P的一条直线，把△ABC沿直线l折叠，点B的对应点是点B’．当PB=6时，在直线l变化过程中，求△ACB’面积的最大值．
【分析】考虑l是经过点P的直线，且△ABC沿直线l折叠，所以B’轨迹是以点P为圆心，PB为半径的圆弧．考虑△ACB’面积最大，因为AC是定值，只需B’到AC距离最大即可．过P作作PH⊥AC交AC于H点，与圆的交点即为所求B’点，先求HB’，再求面积．答案为
.
达标检测 领悟提升 强化落实
1. 如图， AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，AB=10，AC=8．D是弧BC上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE．在点D移动的过程中，BE的最小值为 ．
答案为：
【分析】E是动点，E点由点C向AD作垂线得来，∠AEC=90°，且AC是一条定线段，所以E点轨迹是以AC为直径的圆弧．当B、E、M共线时，BE取到最小值．连接BC，勾股定理求BM，再减去EM即可．
2.
如图，以正方形的边AB为斜边在正方形内作直角三角形ABE，∠AEB＝90°，AC、BD交于O．已知AE、BE的长分别为3，5，求三角形OBE的面积．
3. 如图，正方形ABCD的边长是4，点E是AD边上一动点，连接BE，过点A作AF⊥BE于点F，点P是AD边上另一动点，则PC PF的最小值为________．
答案为：
【分析】∠AFB=90°且AB是定线段，故F点轨迹是以AB中点O为圆心、AB为直径的圆．考虑PC PF是折线段，作点C关于AD的对称点C’，化PC PF为PC’ PF，当C’、P、F、O共线时，取到最小值．
4. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=4，D是BC上一动点，CE⊥AD于E，EF⊥AB交BC于点F，则CF的最大值是_________．
【分析】∠AEC=90°且AC为定值，故E点轨迹是以AC为直径的圆弧．考虑EF⊥AB，且E点在圆上，故当EF与圆相切的时候，CF取到最大值．
连接OF，易证△OCF≌△OEF，∠COF=30°，故CF可求．答案为
5. 如图，△ABC为等边三角形，AB=3，若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB=∠ACP，则线段PB长度的最小值为_________．
答案为
6. 如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，AB＝5cm，AC＝4cm．D是弧BC上的一个动点（含端点B，不含端点C），连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE，在点D移动的过程中，BE的取值范围是
﹣2≤BE＜3 ．
【解答】解：如图，
由题意知，∠AEC＝90°，
∴E在以AC为直径的⊙M的
上（不含点C、可含点N），
∴BE最短时，即为连接BM与⊙M的交点（图中点E′点），
∵AB＝5，AC＝4，
∴BC＝3，CM＝2，
则BM＝
＝
＝
，
∴BE长度的最小值BE′＝BM﹣ME′＝
﹣2，
BE最长时，即E与C重合，
∵BC＝3，且点E与点C不重合，
∴BE＜3，
综上，
﹣2≤BE＜3，
故答案为：
﹣2≤BE＜3．
7. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝12，点D为线段BC上一动点．以CD为⊙O直径，作AD交⊙O于点E，连BE，则BE的最小值为 8 ．
【解答】解：解：如图，连接CE，
∴∠CED＝∠CEA＝90°，
∴点E在以AC为直径的⊙Q上，
∵AC＝10，
∴QC＝QE＝5，
当点Q、E、B共线时BE最小，
∵BC＝12，
∴QB＝
＝13，
∴BE＝QB﹣QE＝8，
∴BE的最小值为8，
故答案为8．
8. 如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝
，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为 2
﹣2 ．
【解答】解：连结AE，如图1，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝
，
∴AB＝AC＝4，
∵AD为直径，
∴∠AED＝90°，
∴∠AEB＝90°，
∴点E在以AB为直径的⊙O上，
∵⊙O的半径为2，
∴当点O、E、C共线时，CE最小，如图2，
在Rt△AOC中，∵OA＝2，AC＝4，
∴OC＝
＝2
，
∴CE＝OC﹣OE＝2
﹣2，
即线段CE长度的最小值为2
﹣2．
故答案为2
﹣2．
9. 如图，在矩形ABCD中，已知AB＝4，BC＝8，点O、P分别是边AB、AD的中点，点H是边CD上的一个动点，连接OH，将四边形OBCH沿OH折叠，得到四边形OFEH，连接PE，则PE长度的最小值是 2
﹣2
．
【解答】解：如图，连接EO、PO、OC．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠OAP＝90°，
在Rt△OBC中，BC＝8，OB＝2，
∴OC＝
＝2
，
在Rt△AOP中，OA＝2，PA＝4，
∴OP＝
＝2
，
∵OE＝OC＝2
，PE≥OE﹣OP，
∴PE的最小值为2
﹣2
．
故答案为2
﹣2
．
10. 如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是AB边上一点，且AE＝2，点F是边BC上的任意一点，把△BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG，CG，则四边形AGCD的面积的最小值为
．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝3，AD＝BC＝4，∠ABC＝∠D＝90°，根据勾股定理得，AC＝5，
∵AB＝3，AE＝2，
∴点F在BC上的任何位置时，点G始终在AC的下方，
设点G到AC的距离为h，
∵S四边形AGCD＝S△ACD S△ACG＝
AD×CD
AC×h＝
×4×3
×5×h＝
h 6，
∴要四边形AGCD的面积最小，即：h最小，
∵点G是以点E为圆心，BE＝1为半径的圆上在矩形ABCD内部的一部分点，
∴EG⊥AC时，h最小，即点E，点G，点H共线．
由折叠知∠EGF＝∠ABC＝90°，
延长EG交AC于H，则EH⊥AC，
在Rt△ABC中，sin∠BAC＝
，
在Rt△AEH中，AE＝2，sin∠BAC＝
，
∴EH＝
AE＝
，
∴h＝EH﹣EG＝
﹣1＝
，
∴S四边形AGCD最小＝
h 6＝
6＝
．
故答案为：
．
,
