等腰三角形的存在性问题

有关等腰三角形的存在性问题,一般都是放在平面直角坐标系中和抛物线结合起来考察,这种题的解法套路一般都是固定的,同学们在学习的过程中只需要牢固掌握等腰三角形存在的基本模型:两圆一线,多加练习,这类问题就可以轻松掌握。

模型讲解

“两圆一线”模型:在平面直角坐标系中遇到等腰三角形的相关问题后,通常是以顶点作为分类标准,这样就可以构造辅助圆来解决问题。比如下图中,确定一点M,使三角形ABM为等腰三角形,处理方法如下:当以点A为顶点时,M点的轨迹就是以点A为圆心,AB长为半径的圆,然后根据约束条件来求解;当以点B为顶点时,M点的轨迹就是以点B为圆心,AB长为半径的圆上,然后根据约束条件来求解;当以点M为顶点时,点M的轨迹就在线段AB的垂直平分线上,然后根据约束条件来求解。

等腰三角形的判定能提出的问题(等腰三角形的存在性问题)(1)

典型练习

1.如图,已知点A(1,0)、点B (-3,0)和点C(0,3).直线x=-1与x轴交于点M ,问在直线x=-1上是否存在点P,使△CMP为等腰三角形?若存在,请直接写出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由。

等腰三角形的判定能提出的问题(等腰三角形的存在性问题)(2)

解析:先找点,后求解,找点方法:两圆一线

2.已知抛物线y=ax^2 bx c经过A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点,直线l是抛物线的对称轴.

(1)求抛物线的函数关系式;

(2)设点P是直线l上的一个动点,当△PAC的周长最小时,求点P的坐标;

(3)在直线l上是否存在点M,使△MAC为等腰三角形?若存在,直接写出所有符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.

解析:具体解法如下图所示:

等腰三角形的判定能提出的问题(等腰三角形的存在性问题)(3)

等腰三角形的判定能提出的问题(等腰三角形的存在性问题)(4)

等腰三角形的判定能提出的问题(等腰三角形的存在性问题)(5)

3.如下图,抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,抛物线的对称轴交x轴于点D.已知A(-1,0),C(0,2).

(1)求抛物线的表达式;

(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△PCD是以CD为腰的等腰三角形.如果存在,直接写出P点的坐标;如果不存在,请说明理由;

解题思路:(1)用代入法建立方程组求二次函数表达式;(2)分别以点C,D为圆心,以CD为半径作圆与抛物线对称轴有三个不同的交点,所以以CD为腰的等腰△PCD有三个;

等腰三角形的判定能提出的问题(等腰三角形的存在性问题)(6)

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