【原型1】
原文链接：
于特：学会用变换的观点解题
【原型2】
原文链接：
中考数学压轴题分析：动点产生的等边三角形存在性问题
【原型3】
来源：
人教版，高中数学A版，必修第二册，
P90页
《7.3 * 复数的三角表示》
对比这几道题目，本质上都是一样的。就是将一条线段绕端点旋转60°产生的问题。
如果学会了解决60°的问题，那么其它的问题也可以考虑用类似的方法解决，如45°等。
下面针对这次比赛中大家提交的结果，做一个简单的梳理。
①几何法：构造辅助线；
②代数法：列方程求解。
辅助线的主要是从图形中的特殊角和特殊三角形来考虑。如构造一线三等角，有3个60°。或者构造三垂直，与一线三等角类似。以中点为基础构造中线。
当然，还有很多朋友用了高级的方法，复数的三角表示，直接算出结论。
还有很多朋友因为利用两点之间的距离公式，得到一个一元四次的方程，解错或者解不出来，而说明结果为不存在，比较可惜。不过也是难得的探索。
大家思维的碰撞，不断的尝试，都是非常有意义的。这也是学习和探索未知世界应有的精神。
以下主要以构造辅助线的方式，进行说明：
【方法一】旋转构造三垂直
如上图所示，过点A作AC⊥x轴，垂足为C，将△ACP绕点A顺时针旋转60°并落在△AC′Q处。
则AC′=AC=3.此时构造三垂直易得结论。
根据AC′的长度，得出AD、DC′、C′E和C′D的长度。
那么CP=C′D=8-3√3，则易得OP＝-4 3√3，那么点P的坐标就知道了。
既然可以将△ACP进行旋转得到结论，那么还有其它类似的方法吗？
如上面这种方式，也是可以的。当然，如果以点Q和点P为旋转中心，那么结果也是类似。
【方法二】构造手拉手，利用斜率求解
在方法一的基础上，可以构造等边△ACD，连接DQ。那么就可以得到一个手拉手的模型。
易得△ACP≌△ADQ（SAS）。
那么点D的坐标就比较容易表示，因为AD⊥DQ，那么就可以得到DQ的直线解析式，令x=0即可得到对应的y的值，求出点Q的坐标。
那么同样的道理，就可以得到上面这样一幅图，求出点P的坐标。
还可以以A、P、Q三点为基础，构造大量的等边三角形，利用类似的方法求解。
本质上与方法一是类似的。方法一相当于方法二的简化版。
【方法三】构造一线三等角
如上图所示，以点P及x轴为基础，构造一线三等角。使得∠ANP=∠QMP=60°，那么易得△ANP≌△PMQ（ASA）。
过点A作MN的垂线，可以得到AC的长度为3，那么可以列出已知的所有线段长，然后再设OP=x，最终求得OP的长度即可。
当然，如果再以点A、Q为基础构造也是可以的。方法类似。
构造外三垂直是可以的，那么构造内三垂直呢？
当然也是类似的。如上图所示，过点P作PD⊥x轴，然后在构造∠ACP=∠QDP=120°。易得△ACP≌△PDQ（ASA）。
设DN=PO=x，那么易得AM=4-x，再利用特殊角求得其他线段的长度，建立等量关系求出x即可。
PC=MP-MC=3-（4-x）/√3=DQ=2x/√3。解得x=3√3-4。
【方法四】构造含30°的直角三角形
和等边三角形关系比较亲密的就是含30°的直角三角形。那么就可以在等边三角形的基础上进行构造。倍长AQ至点C，连接PC。或者说过点P作PC⊥AP，延长AQ与PC交于点C。结果是一样的。
那么怎么利用这个图形进行求解呢？
关键就是点Q为AC的中点，以及∠APC为直角，依然考虑构造三垂直。
根据平行线分线段成比例，得到DO=OE=4。由于AD=3，那么PE则为3√3，因此OP=PE-OE=3√3-4。那么点P的坐标也立马出来了。
同样的道理，还可以分别以A、P和Q三点往外构造，共6种情况。皆可以求得结论。
【方法五】构造中线
如上图所示，取AP的中点P，连接CQ。
构造三垂直，设DP=x，易得CD=3/2，那么也可以得到等量关系求出DP与OP的长度。
除了取AP中点外，另外两边的中点也可以，然后再构造三垂直等方式得到等量关系。
【方法六】四点共圆
如上图，画出△APQ的外接圆，与y轴交于点C。连接AC、PC。易得∠ACQ=∠ACP=∠OCP=60°。
过点A作y轴的垂线段，易得AC=8/√3，OC=3-4/√3。
那么OP=3√3-4。结果就出来了。
如果以△APQ及x轴、y轴为基础构造矩形，外接圆与该矩形会交另外的于4个点，用上面的方法都可以得到类似的结论。
【方法七】构造全等
如上图所示，构造△ADQ≌△QEP（ASA）。通过设未知数建立等量关系也可以得到结论。
【方法七】复数的三角表示
新版高中数学必修第二册的内容，增加了以往没有介绍的复数的三角表示。
利用该知识，可以直接得到旋转一定度数后的点的坐标。
如上图，设点P的坐标为（a，b），OP=r，∠POH=θ，建立复平面。
则复数a bi=r（cosθ isinθ）。
设z1=r1（cosθ1 isinθ1），z2=r2（cosθ2 isinθ2），
有公式：
r1（cosθ1 isinθ1）·r2（cosθ2 isinθ2）
=r1·r2[cos(θ1 θ2） isin(θ1 θ2）]。
如果将一个向量旋转60°，那么只需要把对应的复数乘以1·（cos60° i·sin60°）即可。
具体解题过程可以看下面大家提交的答案。
看完以上的分析，不知道大家有什么感受呢？
本质上都是相通的，利用勾股或建系等方式实现数形结合。
花了半天的时间进行整理，以上可能有一些错漏，欢迎大家批评指正。
以下是大家提交的答案：
【001】
王*波
34***767@qq.com
共1种解法
【002】
达*特
53***285@qq.com
共2种解法
【003】
θ
guch***1529@qq.com
共13种解法
如图，抛物线的顶点为，经过原点，且与轴交于另一点，点在轴上由向运动，点为轴负半轴上一点，是否存在一点使得为等边三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【004】
hc***456_7
hc***456_7@qq.com
共0种解法
不存在
【005】
SY
254***062@qq.com
共1种解法
如图，抛物线的顶点为，经过原点，且与轴交
【006】
空**月
chc***en@qq.com
共5种解法
【007】
福建省漳浦达志中学**波
zpd***b@163.com
共6种解法
【008】
小石*
71****808@qq.com
共1种解法
【比赛结果】
第一名 θ共13种解法第二名 福建省漳浦达志中学陈明波共6种解法第三名 空中明月共5种解法
【比赛规则】
1、所有的解法必须是正确的，而且不是重复的解法，例如相同的图形但是用了相似和三角函数两种解法，算2种解法，不能仅仅是同一个图形解题步骤顺序的调整；
2、比赛结果只有前3名获奖，获奖规则为最早上传最多正确解法排序；
3、截止时间：2021年2月19日18:00整，答案拍照或截图提交发送至woaiyazhouti@163.com（只在公众号留言或回复无效）；所有答案统一将在截止后统一打开；
3、本公众号所有的读者都可以参加，也可以邀请朋友参加，或者组队参加，但是获奖的只算一个对象（以提交的邮箱地址为准）；
4、本活动解释权归本公众号所有。
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