作者 | 王东风 杨凡（写于2021年11月16日）
来源 | 小谜题大世界，本文获作者授权发布，作为数学文化征文活动的参考文献供读者参阅。
伤脑筋12块，是一种历史悠久的益智玩具，相传起源于中国的骨牌，西方称为“中国的难题”或“pentomino”。伤脑筋12块包括全部12种由五个单位正方形通过边与边相连形成的多边形，这些多边形也叫五联骨牌或五连方。伤脑筋12块的玩法多种多样，最基本的玩法是用12块拼一个6×10或5×12的长方形。20世纪50年代初，上海一位语文教员方不圆老师将12块改成立体的，使其玩法更加丰富，比如能拼3×4×5的长方体。伤脑筋12块还被漫画家丰子恺誉为“超乎玩具之上，与象棋、国棋相颉（xié，不相上下）。”
在马丁加德纳的《骰子与棋盘上的马》中有这么一个结论：每个四联及五联正六边形骨牌可以密铺平面。同样的，王东风老师发现伤脑筋12块中的每一块也能密铺平面。如下图，每个英文字母是依据每种五联骨牌的形状所做的命名，这也是伤脑筋十二块爱好者常用的命名方式。
图1
王东风老师又尝试了任意两块五连方的组合，共有C（12，2）=66种组合，发现它们都可以密铺。随后，王东风老师提出一个看起来不太可能成立的猜想：“在伤脑筋12块中任取几种五联骨牌，都能密铺平面。”
今年10月22日，毕继朋老师在线上马丁聚会中做了主题为"伤脑筋十二块的创意玩法"的分享。在最后的讨论环节中，王东风老师再次提出这一猜想，引发大家的思考。
经过王东风老师的探索和群友的讨论，今年11月13日，这个猜想得到了证明，随后我们还对这一结论进行了推广。内容如下。
01
引理1：在伤脑筋12块中，除U形外，任意n种五连方的组合（2≤n≤12，下同），都能周期性密铺平面。
（周期性密铺，是指朝一个方向平移之后能够与原图重合的密铺方式。否则为非周期性密铺。）
证明：如下图，每种五联骨牌都能单独拼成“1-2”锯齿形，并且向两个方向无限延伸。因此，不管有几种五联骨牌，只需依次拼在一起即可，然后整体再不断重复。
图2
02
引理2：在伤脑筋12块中，任意一种含有U形及“F、L、N、P、T、W、Y、Z”之一的五连方组合可以周期性密铺平面。证明：不妨设组合中含有F。
先将U形和F形拼成“1-2”锯齿形（抱歉，这里漏了一幅图，请见下期修订版），其余形状根据引理1单独拼成“1-2”锯齿形，之后依次拼在一起，然后整体再不断重复。03
引理3：在伤脑筋12块中，U形与“I、V、X”中任意几种骨牌的组合可以周期性密铺平面。证明：如下图，全部的7种组合都能周期性密铺平面。
图3
