古希腊数学家说过,哪里有数学,哪里就有美。《数学课程标准》指出:"数学是人类文化的重要组成部分,数学素质是公民所必须具备的一种基本素质。通过在中学阶段数学文化的学习,学生将初步了解数学科学与人类社会发展之间的相互作用,体会数学的科学价值、应用价值、人文价值,开阔视野,寻求数学进步的历史轨迹,激发对数学创新原动力的认识,受到优秀文化的熏陶,领会数学的美学价值,从而提高数学的文化素养和创新意识。"这就要求我们的课堂教学要结合具体的数学内容,有效的渗透数学文化,提高学生的数学素质。下面以毕达哥拉斯树为例说说数学文化的魅力。

树妖用800年的功力为自己打造外形(神奇的34)(1)

1.毕达哥拉斯树是什么?

虽说数学是十分枯燥的,但是科学家总能从中找到无限的乐趣,毕达哥拉斯树就是由古希腊数学家毕达哥拉斯,利用勾股定理所画出的一个无限重复图形,当重复的次数够多时,就会形成一个树的形状,所以也有人称之为"勾股树"。

勾股树的相关结论:

(1).两个相邻的小正方形面积的和等于相邻的一个大正方形的面积。

(2).三个正方形之间的三角形,其面积小于等于大正方形面积的四分之一,大于等于一个小正方形面积的二分之一。

树妖用800年的功力为自己打造外形(神奇的34)(2)

2.毕达哥拉斯树的简单画法

众所周知勾股定理就是直角三角形的两个直角边的平方和,等于斜边的平方,毕达哥拉斯利用这一点,在初始的大正方形上,做出了两个全等的小正方形,在以此类推,无限重复的做出各种大小不一的正方形,就形成了茂密的"毕达哥拉斯树"。

树妖用800年的功力为自己打造外形(神奇的34)(3)

由于三个正方形的内部形成了一个等腰直角三角形,所以通过勾股定理可得,小正方形的边长是大正方形的√2/2,在通过对小正方形重复上述过程,无限重复下去。如果假设其中的大正方形边长为1,在增加到第n 次时,会增加2n个小正方形,而每个小正方形的边长就是√2/2,则每一次增加的面积就是2n×(½√2)=1。

从每一个图中两个较小的正方形出发,又可以分别作出一个第三代的勾股定理图(图4),就这样一生二、二生四、四生八,继续繁殖下去,就长成了图1那样的大树,整棵大树完全是由勾股定理图形组成的,把它叫做勾股树,名副其实,非常恰当。

通过改变第一代勾股定理图中直角三角形三边的比例,或者在繁殖过程中适当改变两条直角边的方向,可以得到不同图形的勾股树,就是另外一幅美丽的勾股树形图。 变形啦!变形啦!“妖树”变形啦!

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用GeoGebra绘制的勾三股四弦五勾股树,它美丽,它漂亮;它象征着生活多姿多彩,数学五彩斑斓;它孕育着人生勇攀高峰,学问永无止境……

3. 毕达哥拉斯树是无限的吗?

传说毕达哥拉斯树的树种一旦扎根于土中,第一年吸收10点能量破土而出1个方块木桩,第二年又吸收10点能量抽出2块方块木枝,第三年又吸收10点能量发出4块方块树芽,第四年有吸收10点能量长出8块方块树枝,……,此后每一年都会吸收等量的能量向外发出更多更细小的方块枝条.你能想象那是怎样一幅绝景吗?

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理论上来看,毕达哥拉斯树是可以无限重复的,因为将上诉的公式中的n设为无限次后,毕达哥拉斯树的面积就会趋于无限大。勾股树的面积也会更加茂密,但是在现实中并非如此。

因为当n大于5时,所有产生的小正方体互相重叠,所以毕达哥拉斯树的面积其实是有限的。因此毕达哥拉斯树其实只能生长在一个6×4的方格中里,当然具体的值不太容易求出。

4.毕达哥拉斯树的变种

最初的毕达哥拉斯树中的大正方形和小正方形夹角是不等的,所以有一种毕达哥拉斯树的变种就是改变夹角,当最开始的大正方形和小正方形之间的夹角变为60度时,中间的三角形就会变成等边三角形,这样每一个正方形的边长都是相等的。

但是这种变种也和正常的毕达哥拉斯树一样,是有限的,达到第四步的时候就会发生重叠,最后就会形成一个大六边形,里面全是边长相等的正方形。

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知微见著,窥一斑而见全豹,我们应该实现数学文化和人类文明的整合,要搞清楚数学的文化背景,搞清楚数学成就的文化价值,把数学结果的文化品位发掘出来,用文化的视野来看数学, 用数学的眼光来看文化,发展现代数学,弘扬世界的文化。

树妖用800年的功力为自己打造外形(神奇的34)(7)

罗素曾这样评价数学:如果正确地看它,不但拥有真理,而且也具有至高的美,正像雕刻的美,是一种冷而严肃的美。让我们以数学文化为平台,化"冰冷的魅力"为"火热的思考"!

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