题：已知四边形ABCD中，求证：，我来为大家讲解一下关于对角线互相垂直的四边形面积证明?跟着小编一起来看一看吧!
对角线互相垂直的四边形面积证明
题：已知四边形ABCD中，求证：
（1）如果AC⊥BD，则AB^2 CD^2=BC^2 AD^2；
（2）如果AB^2 CD^2=BC^2 AD^2，则AC⊥BD.
分析：（1）的证明并不难，只需要设AC、BD的交点为O（如图1），则由勾股定理，即可得：
AB^2=OA^2 OD^2，
CD^2= OB^2 OC^2，
所以AB^2 CD^2=OA^2 OB^2 OC^2 OD^2，
同理，BC^2 AD^2=OA^2 OB^2 OC^2 OD^2，
所以AB^2 CD^2=BC^2 AD^2；
（2）的证明就有点悬了.如果采用直接证法，则首先想到的可能是运用勾股定理的逆定理，通过平移，对AC或BD的变换，使AC和BD构成三角形的两边.此时可得如下一种有点繁杂的证明.
证法1：如图2，将△CDB沿CA方向平移到△AEF（C与A重合），连接DE，BF，则四边形BDEF、ACDE、ACBF都是平行四边形，
所以CD=AE，BC=AF，BF=DE.
过点A作GH⊥BF于H，交DE于G.则GH⊥DE.
在Rt△ABH与Rt△AFH中，由勾股定理，得
AB^2-AF^2= BH^2-FH^2=(BH FH)(BH-FH)=BF·(BH-FH)，
所以AB^2-BC^2=BF·(BH-FH)；
同理，AD^2-CD^2=DE·(DG-EG).
因为AB^2 CD^2=BC^2 AD^2，
所以AB^2-BC^2=AD^2-CD^2，
所以BF·(BH-FH)= DE·(DG-EG)，
所以BH-FH=DG-EG，
因为BH=BF-FH，DG=DE-EG，
所以BF-2FH=DE-2EG，
所以-2FH=-2EG，
所以FH=EG，
又FH∥EG，
所以四边形EFHG是平行四边形，
所以平行四边EFHG是矩形，
所以EF⊥HF，即EF⊥BF，
因为BD∥EF，AC∥BF，
所以AC⊥BD.
如果采用间接证法——同一法，抛开AC与BD是否垂直，分别过点A、C作BD的垂线，再证这两条垂线重合.则可得如下较为简单的证法.
证法2：如图3，作AE⊥BD于E，BF⊥BD于F.则由勾股定理，得
AB^2-AD^2=BE^2-DE^2
=(BE DE)(BE-DE)
=BD·(BE-DE)
=BD·(BD-DE-DE)
=BD·(BD-2DE)；
同理，BC^2-CD^2=BD·(BD-2DF)，
因为AB^2 CD^2=BC^2 AD^2，
所以AB^2-AD^2=BC^2-CD^2，
所以BD·(BD-2DE)= BD·(BD-2DF)，
所以DE=DF，
所以点E、F重合，
所以BD的垂线AE和CF重合，
所以AC⊥BD.
