一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。
完全平方数性质：
例题一、一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个数是多少？
解：设这书减去63为A²，减去100为B²
则A²- B²=(A B)(A-B)=100-63=37×1，
可知A B=37，且A-B=1,所以A=19,B=18
这样这个数为18² 100=424或19² 63=424
例题二、一个自然数减去45及加上44都是完全平方数，求此数。
解：设此自然是为X，依题意可得
X-45=M²
X 44=N²
N²-M²=89
(N M)(N-M)=89=89×1
可知N M=89，N-M=1,所以M=44,N=45
这样这个数为44² 45=1981或45²-44=1981
练习题：n是正整数，3n 1是完全平方数，证明：n l是3个完全平方数之和．
解析： 此题可以由3n 1为完全平方数得到3n 1=m2，则m=3k 1或3k 2，再得到n的值，代入n 1经变形即可证为3个完全平方数之和．
一个正整数，如果加上100是一个平方数，如果加上168，则是另一个平方数，求这个正整数．
解析：所求正整数为x，引入参数m和n分别表示这两个完全平方数，然后利用奇偶性分析求解．
自然数n减去52的差以及n加上37的和都是整数的平方，则n=？
解析：设n﹣59=a2，n 30=b2，则存在a2﹣b2=﹣89=﹣1×89，根据奇偶性相同即可求得a、b的值，即可求得n的值．
已知x y=4，且x-y=10，则2xy=？
解析： 把原题中两个式子平方后相减，即可求出xy的值．
已知4x2 4mx 36是完全平方式，则m的值为？
解析：这里首末两项是2x和6这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去2x和6积的2倍．
已知x y=-5，xy=6，则x² y²的值是？
解析：先把所求式子变形为完全平方式，再把题中已知条件代入即可解答．
小明计算一个二项式的平方时，得到正确结果a²-10ab ■，但最后一项不慎被污染了，这一项应是？
解析:根据乘积二倍项找出另一个数，再根据完全平方公式即可确定
已知a b=3，a³ b³=9，则ab等于？
解析：根据条件a b=3，两边平方可求得a² b²=9﹣2ab，再把条件a³ b³=9展成（a b）和ab的形式，整体代入即可求得ab的值．
如果多项式p=a² 2b² 2a 4b 2008，则p的最小值是？
解析：把p重新拆分组合，凑成完全平方式的形式，然后判断其最小值．
