什么是完全平方数?

一个数如果是另一个整数的完全平方,那么我们就称这个数为完全平方数,也叫做平方数。

完全平方数性质:

完全平方数有几个(什么是完全平方数)(1)

完全平方数特征:

完全平方数有几个(什么是完全平方数)(2)

完全平方数有几个(什么是完全平方数)(3)

例题一、一个数减去100是一个平方数,减去63也是一个平方数,问这个数是多少?

解:设这书减去63为A²,减去100为B²

则A²- B²=(A B)(A-B)=100-63=37×1,

可知A B=37,且A-B=1,所以A=19,B=18

这样这个数为18² 100=424或19² 63=424

例题二、一个自然数减去45及加上44都是完全平方数,求此数。

解:设此自然是为X,依题意可得

X-45=M²

X 44=N²

N²-M²=89

(N M)(N-M)=89=89×1

可知N M=89,N-M=1,所以M=44,N=45

这样这个数为44² 45=1981或45²-44=1981

练习题:

n是正整数,3n 1是完全平方数,证明:n l是3个完全平方数之和.

解析: 此题可以由3n 1为完全平方数得到3n 1=m2,则m=3k 1或3k 2,再得到n的值,代入n 1经变形即可证为3个完全平方数之和.

完全平方数有几个(什么是完全平方数)(4)

一个正整数,如果加上100是一个平方数,如果加上168,则是另一个平方数,求这个正整数.

解析:所求正整数为x,引入参数m和n分别表示这两个完全平方数,然后利用奇偶性分析求解.

完全平方数有几个(什么是完全平方数)(5)

自然数n减去52的差以及n加上37的和都是整数的平方,则n=?

解析:设n﹣59=a2,n 30=b2,则存在a2﹣b2=﹣89=﹣1×89,根据奇偶性相同即可求得a、b的值,即可求得n的值.

完全平方数有几个(什么是完全平方数)(6)

已知x y=4,且x-y=10,则2xy=?

解析: 把原题中两个式子平方后相减,即可求出xy的值.

完全平方数有几个(什么是完全平方数)(7)

已知4x2 4mx 36是完全平方式,则m的值为?

解析:这里首末两项是2x和6这两个数的平方,那么中间一项为加上或减去2x和6积的2倍.

完全平方数有几个(什么是完全平方数)(8)

已知x y=-5,xy=6,则x² y²的值是?

解析:先把所求式子变形为完全平方式,再把题中已知条件代入即可解答.

完全平方数有几个(什么是完全平方数)(9)

小明计算一个二项式的平方时,得到正确结果a²-10ab ■,但最后一项不慎被污染了,这一项应是?

解析:根据乘积二倍项找出另一个数,再根据完全平方公式即可确定

完全平方数有几个(什么是完全平方数)(10)

已知a b=3,a³ b³=9,则ab等于?

解析:根据条件a b=3,两边平方可求得a² b²=9﹣2ab,再把条件a³ b³=9展成(a b)和ab的形式,整体代入即可求得ab的值.

完全平方数有几个(什么是完全平方数)(11)

如果多项式p=a² 2b² 2a 4b 2008,则p的最小值是?

解析:把p重新拆分组合,凑成完全平方式的形式,然后判断其最小值.

完全平方数有几个(什么是完全平方数)(12)

什么是完全平方数?大家看明白了没!

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