一道初中题-求圆的半径的平方
若一个圆的半径为r, 该圆的一个弦长AB=10， 另一个弦长CD=7， 当AB和CD延长后经过B和C点后交于圆外的一点P， 若∠APD=60°， 且BP=8， 求圆的半径r的平方。
解：利用圆的割线定理可以求出PC的长度， 因为：
PC·PD=PB·PA
设PC=x, 那么PD=x 7, 因此：
x(x 7)=8·18
解这个方程可以求出x=9,
如图连接BD， 同时连接AD，
因为PD=PC DC=9 7=16，
在三角形PBD中，由于∠P=60度， 而BP=2BP， 这与30°-60°-90°的三角形关系是吻合的，这相当于两个三角形全等，所以△PBD是直角三角形。
因此DB垂直于AB， 所以AD是圆的直径。
在直角三角形BPD中可以求出BD=8√3
在直角三角形ABD中用勾股定理可以求出AD的平方，即直径的平方，
即：
带入数值,可以求得:
AD·AD=292,
而半径的平方是直径的平方的四分之一，
所以
关于圆的割线定理的证明，可以通过相似形证明。
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