引言

初中物理课上,我们就知道:液体在同一深度的各方向上的压强都相等。

这个结论相当实用,可是我们还记得是怎么得到这个结论的呢?

不出意外,大部分同学都会说是通过实验得到的。

为什么同一液体不同高度压强不同?为什么液体在同一深度的各方向上的压强都相等(1)

但是,大家不经常都说,在经典力学中,通过牛顿三大定律就可以推导出所有的力学结论吗?这里的液体压强属于流体静力学范畴,后者也属于经典力学,那么“在同一深度的各方向上的压强相等”这个结论是否可以推导出来呢?

流体的基本性质

气体和液体都是流体,流体有如下基本性质:

1. 流体是可压缩的。

初中我们就做过物理、化学实验,气体是可被压缩的,体积和压强满足相关规律。

液体特殊一点,压缩性比较小。

为简单起见,可以认为液体在压力情况下体积是没有变化的。

2. 流体是可任意分割的。分割的任意一块,都满足牛顿力学定律。

特别的:

如果是液体且处于平衡状态(如静止状态),那么分割的任意一块都与整体保持相同状态

证明

要证明各方向的压强相等,只需要按照下图证明Px=Py=Pz=Pn即可(其中Pn为指向任一方向的压强)即可。

为什么同一液体不同高度压强不同?为什么液体在同一深度的各方向上的压强都相等(2)

目前我们手里有的武器只有牛顿力学定律。所以我们需要利用受力分析来证明。

要证明压强的关系,又要利用受力分析,所以首先我们需要将压强转换成压力。

压力与压强的关系:

F=PS (式1)

F表示压力,P表示压强,S表示垂直于压强的受力面积。

为什么同一液体不同高度压强不同?为什么液体在同一深度的各方向上的压强都相等(3)

把上面的受力面Sx、Sy、Sz和Sn拼接起来,就形成了一个封闭的四面体:

为什么同一液体不同高度压强不同?为什么液体在同一深度的各方向上的压强都相等(4)

由上图所示:

Sx=S∆AOC Sy=S∆AOB Sz=S∆BOC Sn=S∆ABC (式2)

设ɑ是∆ABC与平面xOz的夹角,则∆AOB是∆ABC在平面xOz的投影,从而:

S∆AOB=S∆ABCcosɑ(式3)

这个四面体可以看做是整个流体的一部分。

显然,只有当这个四面体的体积足够小,是一个微元的时候,才能看做一个深度的质点,否则它本身有高度的话,那么就和题意要求的“某一深处”的条件矛盾了。

假设液体整体处于静止状态,那么这个四面体作为液体的一部分,根据上面的“流体基本性质2”可知,四面体也处于静止状态。

现在对该四面体进行受力分析:

为什么同一液体不同高度压强不同?为什么液体在同一深度的各方向上的压强都相等(5)

除了它在四个面分别收到的压力之外,它还受到重力作用,其大小G=Mg

(其中M代表四面体的质量,g是重力加速度常量)

设液体的密度为ρ,则M=ρV,其中V是四面体体积。

V是受力面积与高的乘积,高与两个面的夹角相关,所以可以看出:

由于四面体是微元,所以受力面积趋向0、V是相对于受力面积的高阶无穷小。

从而可以推出:

推论1:G是相对于相对于Fz的高阶无穷小,忽略不计。

由上图:

在y轴方向上,合力应为0,所以:

Fy=Fncosɑ (式4)

将式1代入式4,得到:

PySy=PnSncosɑ (式5)

将式2代入式5,得到:

PyS∆AOB=PnS∆ABCcosɑ (式6)

将式3代入式6,得到:

Py=Pn

同理可证Px=Pn

结合推论1,也可证得Pz=Pn

从而有:Px=Py=Pz=Pn,命题得证。

总结

数学是一切自然科学的基础,大部分物理学结论其实都是根据思想实验 数学推导,得到大致方向性结论,然后再辅以实验进行验证。而并不是像很多人所想的那样——物理规律的发现完全来自没有方法与策略支撑的实验。

为什么同一液体不同高度压强不同?为什么液体在同一深度的各方向上的压强都相等(6)

为什么同一液体不同高度压强不同?为什么液体在同一深度的各方向上的压强都相等(7)

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