根据书的编排,第一册最后一章讲实数集理论,比较枯燥难懂,但是又是前面知识的基石,所以这里只稍微带过,有兴趣的根据提示去学习
第1节,实数集的稠密性:
- 两实数的大小关系的定义与形式构造:通过能唯一表示的无限小数来表示实数并比较大小
- 近似值:包括n位不足近似 和 n位过剩近似
- 近似值的一些性质
- 关于比较两实数大小的定理
- 实数的稠密性定理及推论
第2节,实数集的完备性
- 区间套定理及推论,是关于闭区间列{[an,bn]}
- Heine-Borel有限覆盖定理
- Weierstrass聚点定理
- 实数集完备性基本定理的等价性,一些一些定理是等价的,能相互推出
- 1)确界原理;数列极限的基础
- 2)单调有界定理
- 3)致密性定理
- 4)柯西收敛准则
- 5)区间套定理
- 6)有限覆盖定理
- 7)聚点定理
第3节,讲上极限与下极限的概念
- 极限点:有限极限点 和 无限极限点
- 极限点充要条件定理
- 定理:任何数列均有极限点
- 定理:有界数列只有有限极限点,且必有最大极限点和最小极限点
- 上下极限的义
- 定理:任何数列都有上下极限
- 定理:任何有界数列,下极限≤上极限
- 数列极限lim xn = A 的充要条件 xn的上极限=xn的下极限=A
- 数列的上下极限与上下确界的关系定理
- 有限极限的上下极限的充要条件定理
本篇的重点是不定积分
第1节,讲原函数与不定积分的概念
- 设f(x)在区间I上有定义,若存在I上的函数Φ(x),使对任意x∈I 有 dΦ(x)=f(x)dx 或 Φ`(x)=f(x),则称Φ(x)是f(x)在I 上的原函数,f(x)在区间I 上的全体函数称为f(x)在I 上的不定积分,记作 ∫f(x)dx
- 定理:设Φ(x)是f(x)在区间I上的一个原函数,则对任意实常数C ,Φ(x) C也是f(x)在I上的一个原函数,且{Φ(x) C|C∈R}就是f(x)在I上的全部原函数
- 不定积分运算性质-线性性质:设f(x) ,g(x)在I上都有原函数,α,β为两任意实常数,则αf(x) βg(x)在I 上也有原函数 且∫[αf(x) βg(x)]dx =α∫f(x)dx β∫g(x)dx
- 基本积分公式,绝大部分都是高中学过的,在此不表
第2节,不定积分的计算,方法定理只有两三种,看似简单,实质上要多练多做才能掌握各种形式不定积分解答步骤
- 第一换元积分法-凑微分法定理:设u=φ(x)在[a,b]上可导,α≤φ(x)≤β ,x∈[a,b],并且g(u)在[α,β]存在原函数G(u),则f(x)=g(φ(x))φ`(x)在[a,b]也存在原函数F(x),且F(x)=G(φ(x)) C ,C是常数
- 第二换元积分法-变量代换法定理:条件太多不详细列出了,这里只列出形式,在满足相关条件下,∫f(x)dx=∫f(φ(t))φ`(t)dt = [∫g(t)dt] , t=φ^(-1)(x) = G(φ^(-1)(x)) C
- 分部法求不定积分定理:若u(x) ,v(x)都可导且∫u`(x)v(x)dx 存在,则 ∫u(x)v`(x)dx 也存在,且 ∫u(x)v`(x)dx =u(x)v(x) -∫u`(x)v(x)dx 或 ∫udv = uv - ∫vdu
第3节,有理函数的不定积分,前面的三个定理方法能解决大多数初等函数的不定积分,不过还有些不定积分存在,但是无法用初等函数表示,这就是本节讲的有理不定积分
- 有理函数的一般形式:R(x)=P(x)/Q(x)
- 定理:每个真分式 R(x)=P(x)/Q(x) 可以表示成若干部分分式之和。该定理的证明需要另外两个引理的引用
- 任何真分式的不定积分最终可以化为如下两种形式的不定积分:
- 1)∫dx/(x-a)^k = ln |x-a| C ,k=1 ;1/[(1-k)(x-a)^(k-1)] ,k >1
- 2) ∫(Mx N)dx/[(x^2 px q)^k ] ,p^2-4q<0
- 对于形如 ∫dx/(x^2 - a^2) 的形式,套公式使用待定系数法
- 三角函数有理式的不定积分:∫ R(sinx,cosx)dx,通常可使用t=tan(x/2) 这个万能变换去化简求取
- 形如R(x,√(ax^2 bx c))的无理根式的不定积分,通常方法是对根式进行配方,然后用三角变换和万能变换将无理部分变为有理函数来求解。这里 a>0 ,b^2 - 4ac ≠0。事实上,还可以根据欧拉变换来求解,变换过程为令,√(ax^2 bx c)=√ax±t ,若c>0,还可以令 √(ax^2 bx c)=xt ±√c