让我们随便挑选4个连续的自然数,把它们连乘起来,然后再加1,所得的结果都是完全平方数。

不信?你来瞧:

三个连续自然数乘积不是平方数(4个连续的自然数相乘再加上1)(1)

再往后推演,计算就麻烦多了,但不管怎么样,我们可以断定,算出来的数一定也是完全平方数。

为什么会有这样的结果呢?

我先来考查两个差为2的自然数,设其中一个为a-1,另一个则为a 1,两数相乘得:

三个连续自然数乘积不是平方数(4个连续的自然数相乘再加上1)(2)

只需要再加1,就是一个完全平方数了。

我们再来看一下4个连续自然数相乘是什么结果。设4个自然数依次为a、a 1、a 2、a 3,第1、4个数相乘得:

三个连续自然数乘积不是平方数(4个连续的自然数相乘再加上1)(3)

第2、3个数相乘得:

三个连续自然数乘积不是平方数(4个连续的自然数相乘再加上1)(4)

两个乘积结果的差是不是正好是2?

原来两个差为2的自然数正好可以构造出一个完全平方差等式,等式的右侧恰好有一项是-1,加上1将-1消掉,剩下的就是一个完全平方数了,而4个连续自然数相乘也可以得出这样的结果。

下面,我们开拓一下思路,4个连续的自然数,还可以是什么呢?

学过数列的小伙伴看出来了:这不是一个公差为1的自然数等差数列吗!那么问题来了,既然公差为1的自然数等差数列,有这么有趣的结果,那公差为2、3直至n的自然数等差数列也会有相同或类似的结果吗?

我们不妨构建一个公差为n的自然数等差数列:a,a n,a 2n,a 3n,a 4n......a n*n,并取它的前四项,使之相乘得:

三个连续自然数乘积不是平方数(4个连续的自然数相乘再加上1)(5)

从上面的推导,我们可以看出,对于一个自然数等差数列来说,它的连续4项相乘,再加公差的4次方,其结果就是一个完全平方数。

那么我们开头所讲的,4个连续的自然数相乘,想要得到一个完全平方数,要加的其实不是1,而是1的4次方。

最后给大家留道题:10*12*14*16 16是谁的平方?会做的小伙伴,可以把答案写在评论里哟!

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