孪生素数就是指相差2的素数对，例如3和5，5和7，11和13…。这个猜想正式由希尔伯特在1900年国际数学家大会的报告上第8个问题中提出，可以这样描述：
存在无穷多个素数p，使得p 2是素数。
素数对（p,p 2）称为孪生素数。
在1849年，阿尔方·德·波利尼亚克提出了一般的猜想：对所有自然数k，存在无穷多个素数对（p,p 2k）。k=1的情况就是孪生素数猜想。
基本信息
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中文名 |
孪生素数猜想 |
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外文名 |
Twin prime conjecture |
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提出者 |
希尔伯特 |
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百科目录
简介
简介
无限多的证明
研究内容非估算性估算性强化版猜想
证明思路
素数
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简介
孪生素数猜想是数论中的著名未解决问题。这个猜想产生已久；在数学家希尔伯特在1900年国际数学家大会的著名报告中，它位列23个“希尔伯特问题”中的第8个问题，可以被描述为“存在无穷多个素数p，并且对每个p而言，有p 2这个数也是素数”。
孪生素数即相差2的一对素数。例如3和5，5和7，11和13，…，10016957和10016959等等都是孪生素数。
素数定理说明了素数在趋于无穷大时变得稀少的趋势。而孪生素数，与素数一样，也有相同的趋势，并且这种趋势比素数更为明显。
由于孪生素数猜想的高知名度以及它与哥德巴赫猜想的联系，因此不断有学术共同体外的数学爱好者试图证明它。有些人声称已经证明了孪生素数猜想。然而，尚未出现能够通过专业数学工作者审视的证明。
1849年，波利尼亚克（AlphonsedePolignac）提出了更一般的猜想：对所有自然数k，存在无穷多个素数对(p,p 2k)。k=1的情况就是孪生素数猜想。素数对(p,p 2)称为孪生素数。数学家们相信这个猜想是成立的。
2013年5月，张益唐的论文《素数间的有界距离》在《数学年刊》上发表，破解了困扰数学界长达一个半世纪的难题，证明了孪生素猜想的弱化形势，即发现存在无穷多差小于7000万的素数对。这是第一次有人证明存在无穷多组间距小于定值的素数对。
无限多的证明
关键词：完全不等数,SN区间,LN区间.
一、阴性合数定理和阴性素数定理
大于3的素数只分布在6n-1和6n 1两数列中。（n非0自然数，下同）
6n-1数列中的合数叫阴性合数，其中的素数叫阴性素数。
6[6NM （M-N）]-1=（6N 1）（6M-1）（NM两个非0自然数，N=〈M，下同）
6[6NM-（M-N）]-1=（6N-1）（6M 1）
在6n-1数列中只有这两种合数，余下就是阴性素数了，所以就有阴性素数定理
6NM -（M-N）=/=x（阴性不等数）
6x-1=q（阴性素数）
二、阳性合数定理和阳性素数定理
6n 1数列中的合数叫阳性合数，其中的素数叫阳性素数。
6[6NM （N M）] 1=（6N 1）（6M 1）
6[6NM-（N M）] 1=（6N-1）（6M-1）
在6n 1数列中只有这两种合数，余下就是阳性素数了，所以就有阳性素数定理
6NM -（N M）=/=X（阳性不等数）
6X 1=P（阳性素数）
三、与孪生素数相对应的完全不等数
完全不等数(X),它既不等于阴性上下两式；也不等于阳性上下两式。
(X)=/=6NM -(M -N)
则有6(X) 1=P6(X)-1=q（p减1能被6整除的素数，q加1能被6整除的素数，下同）
一个完全不等数所产生的阴性素数q和阳性素数P就是一对孪生素数.
并且完全不等数与孪生素数是一一对应的.
四、阴阳四种等数在自然数列中的分布概况
6NM （M-N）=阴性上等数6NM-（M-N）=阴性下等数
6NM （N M）=阳性上等数6NM-（N M）=阳性下等数
为了搞清它们在自然数中分布情况，把四式中的N叫级别因子数，M叫无限因子数。
四种等数的每一个级别的最小等数都在6NN -（N N）范围。
每一级别的上等数相邻两等数距离是6n 1，在自然数列中比例是1/（6n 1），两种上等数每个级别的比例合计是2/（6n 1），（但实际是略少于这个比例因每一级别的底部都没有这个级别的上等数；下等数也一样的情况。）
每一级别的下等数相邻等数的距离是6n-1，在自然数列中的比例是1/（6n-1），阴阳两种下等数的每个级别的合计比例是2/（6n-1）。
每个级别的四种等数在自然数列中的比例是24N/[(6N 1)(6N-1)].
五、四种等数大小数列的互相渗透
自然数列中有阴性上等数数列，阴性的下等数数列，阳性上等数数列和阳性下等数数列。它们的级别有无限多，每一个级别的数列的等数都是无限多的。同一种等数级别不同的数列都是互相渗透而产生重叠，并以两级别的等数距离的乘积而严格地重叠的。在计算一种若干的级别的等数时用连乘式正好可以表示它的渗透重叠关系。四种等数数列之间都有互相渗透而重叠，只有同一级别阴阳上上数列。下下数列没有渗透。四种数列之间的渗透重叠不用计算也足够可以证明了。
六、与素数分布基本同步的SN区间
把自然数划分成12，24，36……以12为递增的一个个区间，这样的区间叫SN区间。SN区间与四种等数数列是同步的，即:
12（1 2 3 …… N）=6NN 6N
在这样的区间内包括N级别及以下的所有四种等数数列的等数，并没有比N级别大的数列等数，与四种等数的级别是完全同步的，所以与素数的分布也是同步的。
七、每个大于S8区间内都有8个以上的完全不等数
在每一个SN区间只有存在1至N级别的四种数列等数，每一级别等数的比例是可以确定，由于上下级别的渗透。就可以拿以下式来计算S8区间的完全不等数的至少个数。
12*8*11/35*95/143*251/323*479/575*779/899*1151/1295*1593/1763*2111/2303=8.2768
其他每一个SN区间可用这种方法计算.
随着区间的增大完全不等数计算的数量也会越来越多。以后都会超过8个.
八、误差分析
用最严格下取整的误差分析方法，将SN区间捆绑成1,2,4,8,16......2^(N-1)的LN区间。在每一个大于S8的SN区间计算都大于8个完全不等数，在每一个LN区间都有2^N-1级别等数数列，每级级别有4种等数数列，每一级别一种等数筛一次误差极限是1.每一个LN区间误差极限是4*(2^N-1).
8*2^(N-1)-4*(2^N-1)=4
最严格下取整后大于L4的区间仍然还有4个完全不等数。
九、总结
根据以上的论证，在大于S8区间每一个SN区间都有8个以上的完全不等数.
严格的下取整后，大于L4的每一个LN区间都还有多于4个的完全不等数以上的量。
LN区间是无限多的，完全不等数与孪生素数对是一一对应的，所以孪生素数也是无限多的。
这个证明期待着权威的表态。[2]
素数——那些因数除了1就是他们本身的数们——就像代数的原子一样。从欧几里得——他在2000年前证明了素数有无穷多个——开始，它们就让无数数学家们为之倾倒。
因为素数从根本上和乘法相关，理解他们和加法相关的性质就变得很困难。一些数学上最古老的未解之谜就和素数和加法相关，其中之一就是孪生素数猜想——存在无限多组差为2的素数对。另一个则是哥德巴赫猜想，这个猜想提出所有的偶数都可以表示为两个素数之和。
在自然数列的起始部分存在着大量的素数，但是随着数字变大，他们变得越来越稀少。举例来说，在前10个自然数里，40%都是素数——2，3，5和7——但是在所有的10位数里，仅有4%的数是素数。在过去的一个世纪里，数学家们掌握了素数减少的规律：在大数中，连个素数之间的间隔大约是位数的2.3倍。举例说明，在100位的数中，两个素数的平均间隔大约是230。
但是这只是平均而言。素数通常比平均预计得更加紧密地出现，或者相隔更远。具体来说，“孪生”素数通常扎堆出现，比如3和5还有11和13，他们的差仅为2。而在大数中，孪生素数似乎从没有完全消失（目前为止发现的最大的孪生素数是2996863034895 · 2^1290000±1，一共有388342位）
1849年，法国数学家阿尔方·波利尼亚克提出了“波利尼亚克猜想”：对所有自然数k，存在无穷多个素数对(p,p 2k)。k等于1时就是孪生素数猜想，而k等于其他自然数时就称为弱孪生素数猜想（即孪生素数猜想的弱化版）。因此，有人把波利尼亚克作为孪生素数猜想的提出者。
从那时开始，这些猜想的内在吸引力冠予了它们数学的圣杯的称号，虽然他们可能没有实际的应用价值。虽然有很多数学家们致力于证明这一猜想，他们还是不能排除素数的间隔会一直增长最终超过一个特定上限的可能。
1921年，英国数学家戈弗雷·哈代和约翰·李特尔伍德提出一个与波利尼亚克猜想类似的猜想，通常称为“哈代-李特尔伍德猜想”或“强孪生素数猜想”（即孪生素数猜想的强化版）。这一猜想不仅提出孪生素数有无穷多对，而且还给出其渐近分布形式。
2013年5月，张益唐在孪生素数研究方面所取得的突破性进展，他证明了孪生素数猜想的一个弱化形式。在最新研究中，张益唐在不依赖未经证明推论的前提下，发现存在无穷多个之差小于7000万的素数对，从而在孪生素数猜想这个重要问题的道路上前进了一大步。
张益唐的论文在5月14号在网络上公开，5月21日正式发表。5月28号，这个常数下降到了6000万。仅仅过了两天的5月31号，下降到了4200万。又过了三天的6月2号，则是1300万。次日，500万。6月5号，40万。
在英国数学家TimGowers等人发起的“Polymath”计划中，孪生素数问题成为了一个在全球数学工作者中利用网络进行合作的一个典型。人们不断地改进张益唐的证明，进一步拉近了与最终解决孪生素数猜想的距离。在2014年2月，张益唐的七千万已经被缩小到246。
研究内容
非估算性
早在20世纪初，德国数学家兰道就推测孪生素数有无穷多，许多迹象也越来越支持这个猜想。最先想到的方法是使用欧拉在证明素数有无穷多个所采取的方法。设所有的素数的倒数和为：
如果素数是有限个，那么这个倒数和自然是有限数。但是欧拉证明了这个和是发散的，即是无穷大。由此说明素数有无穷多个。1919年，挪威数学家布隆仿照欧拉的方法，求所有孪生素数的倒数和：
如果也能证明这个和比任何数都大，就证明了孪生素数有无穷多个了。这个想法很好，可是事实却违背了布隆的意愿。他证明了这个倒数和是一个有限数，这个常数就被称为布隆常数：b=1.90216054…布隆还发现，对于任何一个给定的整数m，都可以找到m个相邻素数，其中没有一个孪生素数。
1920年代，通过使用著名的筛理论（Sievetheory，基于埃拉托斯特尼筛法的理论），挪威的维果·布朗（ViggoBrun）证明了2能表示成两个最多有9个素数因子的数的差。这个结论已经有些近似于孪生素数猜想了。可以看到，只要将这个证明中的“最多有9个素数因子的数”改进到“最多有1个素数因子的数”，就可以证明孪生素数猜想了。
1966年由已故的我国数学家陈景润利用筛法（sievemethod）所取得的。陈景润证明了：存在无穷多个素数p，使得p 2要么是素数，要么是两个素数的乘积。这个结果与他关于Goldbach猜想的结果很类似。一般认为，由于筛法本身的局限性，这一结果在筛法范围内很难被超越。
估算性
证明孪生素数猜想的另一类结果则是估算性结果。这类结果估算的是相邻素数之间的最小间隔Δ，更确切地说是：
翻译成白话文，这个表达式所定义的是两个相邻素数之间的间隔，与其中较小的那个素数的对数值之比在整个素数集合中所取的最小值。很显然，孪生素数猜想如果成立，那么Δ必须等于0。因为孪生素数猜想表明pn 1-pn=2对无穷多个n成立，而ln(pn)→∞，因此两者之比的最小值对于孪生素数集合（从而对于整个素数集合也）趋于零。不过要注意，Δ=0只是孪生素数猜想成立的必要条件，而不是充分条件。换句话说，如果能证明Δ≠0，则孪生素数猜想就不成立；但证明Δ=0却并不意味着孪生素数猜想就一定成立。
对Δ最简单的估算来自于素数定理。按照素数定理，对于足够大的x，在x附近素数出现的几率为
，这表明素数之间的平均间隔为ln(x)（这也正是Δ的表达式中出现ln(pn)的原因），从而
给出的其实是相邻素数之间的间隔与平均间隔的比值，其平均值显然为1。平均值为1，最小值显然是小于等于1，因此素数定理给出Δ≤1。
对Δ的进一步估算始于Hardy和Littlewood。一九二六年，他们运用圆法（circlemethod）证明了假如广义Riemann猜想成立，则Δ≤2/3。这一结果后来被Rankin改进为Δ≤3/5。但这两个结果都有赖于本身尚未得到证明的广义Riemann猜想，因此只能算是有条件的结果。一九四零年，Erdös利用筛法首先给出了一个不带条件的结果：Δ<1（即把素数定理给出的结果中的等号部分去掉了）。此后Ricci于一九五五年，Bombieri和Davenport于一九六六年，Huxley于一九七七年，分别把这一结果推进到Δ≤15/16，Δ≤(2 √3)/8≈0.4665及Δ≤0.4425。Goldston和Yildirim之前最好的结果是Maier在一九八六年取得的Δ≤0.2486。
2003年，Goldston和Yildirim发表了一篇论文，声称证明了Δ=0。但2003年4月23日，AndrewGranville（UniversitydeMontreal）和KannanSoundararajan（UniversityofMichigan）发现了Goldston和Yildirim证明中的一个错误。2005年，他们与JanosPintz合作完成了证明。此外，若Elliott-Halberstam猜想成立，孪生素数猜想的弱化版本——存在无穷多对相距16的素数——在Δ=0时也会成立。
Δ=0被证明后人们的注意力自然就转到了研究Δ趋于0的方式上来。孪生素数猜想要求Δ~[log(pn)]（因为pn 1-pn=2对无穷多个n成立)。Goldston和Yildirim的证明所给出的则是Δ~[log(pn)]，两者之间还有相当距离。但是看过Goldston和Yildirim手稿的一些数学家认为，Goldston和Yildirim所用的方法存在改进的空间。这就是说，他们的方法有可能可以对Δ趋于0的方式作出更强的估计。因此Goldston和Yildirim的证明，其价值不仅仅在于结果本身，更在于它很有可能成为未来一系列研究的起点。
2013年5月14日，《自然》（Nature）杂志在线报道张益唐证明了“存在无穷多个之差小于7000万的素数对”，这一研究随即被认为在孪生素数猜想这一终极数论问题上取得了重大突破。
尽管从2到7000万是一段很大的距离，《自然》的报道还是称其为一个“重要的里程碑”。正如美国圣何塞州立大学数论教授DanGoldston所言，“从7000万到2的距离（指猜想中尚未完成的工作）相比于从无穷到7000万的距离（指张益唐的工作）来说是微不足道的。”
强化版猜想
1849年，阿尔方·德·波利尼亚克提出了更一般的猜想：对所有自然数k，存在无穷多个素数对(p,p 2k)。k=1的情况就是孪生素数猜想。因此，波利尼亚克有时也被认为是孪生素数猜想的提出者。
1921年，英国数学家哈代和李特尔伍德提出了以下的强化版猜想：设为前N个自然数里孪生素数的个数。那么
其中的常数是所谓的孪生素数常数，其中的p表示素数。
哈代和李特尔伍德的猜测实际上是存在已久的孪生素数猜想的加强版。孪生素数猜想是指“孪生素数有无穷多个”。这个猜想至今仍未被证明。然而，哈代和李特尔伍德的猜测并不是需要建立在孪生素数猜想成立的前提上。
这一猜想不仅提出孪生素数有无穷多对，而且还给出其渐近分布形式。中国数学家周海中指出：要证明强孪生素数猜想，人们仍要面对许多巨大的困难。
证明思路
一个由互不相同的非负整数构成的集合H={h1,...,hk}，若对任意素数p，H中数除以p得到的余数类少于p个，则定义集合H为可接受的。如果证明了存在无穷多个n，使得{n h1,...,n hk}中至少有两个素数，那么我们就可推出：存在无穷多对素数，每一对的两素数的差小于hk-h1。特别地，H={0,2}是可接受的，如果能对它证明结论，那么孪生素数猜想就迎刃而解了。
定义theta(n)=lnn，如果n为素数；定义theta(n)=0，如果n为合数。如果我们可以恰当选取函数lambda(n)，之后定义
，
，然后证明S_2−(log3x)S_1>0的话，我们就证完了。张益唐巧妙地选取了lambda函数，然后成功证明了对k>=3.5*10^6，结论成立。然后他直接使用了前3.5*10^6个素数作为可接受的集合。
之后经过数学家的辛勤工作，对k>=50，结论仍然成立，对应的可接受数组为{0，4，6，16，30，34，36，46，48，58，60，64，70，78，84，88，90，94，100，106，108，114，118，126，130，136，144，148，150，156，160，168，174，178，184，190，196，198，204，210，214，216，220，226，228，234，238，240，244，246}。因此，对任意的x，在x和2x 246之间存在差距小于246的素数对。
素数
质数（primenumber）又称素数，有无限个。一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能整除以其他自然数（质数），换句话说就是该数除了1和它本身以外不再有其他的因数；否则称为合数。根据算术基本定理，每一个比1大的整数，要么本身是一个质数，要么可以写成一系列质数的乘积；而且如果不考虑这些质数在乘积中的顺序，那么写出来的形式是唯一的。最小的质数是2。
只有1和它本身两个因数的自然数，叫质数（或称素数）。（如：由2÷1=2，2÷2=1，可知2的因数只有1和它本身2这两个约数，所以2就是质数。与之相对立的是合数：“除了1和它本身两个因数外，还有其它因数的数，叫合数。”如：4÷1=4，4÷2=2，4÷4=1，很显然，4的因数除了1和它本身4这两个因数以外，还有因数2，所以4是合数。）
100以内的质数有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，在100内共有25个质数。
质数的个数是无穷的。欧几里得的《几何原本》中有一个经典的证明。它使用了证明常用的方法：反证法。具体证明如下：假设质数只有有限的n个，从小到大依次排列为p1，p2，……，pn，设N=p1×p2×……×pn，那么，N 1是素数或者不是素数。
- 如果N 1为素数，则N 1要大于p1，p2，……，pn，所以它不在那些假设的素数集合中。
- 如果N 1为合数，因为任何一个合数都可以分解为几个素数的积；而N和N 1的最大公约数是1，所以N 1不可能被p1，p2，……，pn整除，所以该合数分解得到的素因数肯定不在假设的素数集合中。
因此无论该数是素数还是合数，都意味着在假设的有限个素数之外还存在着其他素数。所以原先的假设不成立。也就是说，素数有无穷多个。
其他数学家给出了一些不同的证明。欧拉利用黎曼函数证明了全部素数的倒数之和是发散的，恩斯特·库默的证明更为简洁，HillelFurstenberg则用拓扑学加以证明。
本词条内容贡献者为：胡启洲-副教授-南京理工大学
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