A,B是⊙C上的两个点, 点P在⊙C内部. 若∠APB是直角, 称∠APB为AB关于⊙C的内直角, 特别地, 当圆心C在∠APB边(含顶点)上时, 称∠APB为AB关于⊙C的最值内直角. 如图1, ∠AMB是AB关于⊙C的内直角, ∠ANB是AB关于⊙C的最佳内直角. 坐标平面xOy内,
(1)如图2, ⊙O的半径为5, A(0,-5), B(4,3)是⊙O上两点.
①已知P1(1,0), P2(0,3), P3(-2,1), 在∠AP1B, ∠AP2B, ∠AP3B中, 是AB关于⊙O的内直角的是____________.
②若直线y=2x b上存在一点P, 使得∠APB是AB关于⊙O的内直角, 求b的取值范围.
(2)点E是以T(t,0)为圆心, 4为半径的圆上一个动点. ⊙T与x轴交于点D(点D在点T的右边), 现有点M(1,0), N(0,n), 对于线段MN上每一点H, 都存在点T, 使∠DHE是DE关于⊙T的最佳内直角, 请直接写出n的最大值, 以及n取得最大值时的t的取值范围.
分析：这道题应该是要根据“定边对直角，则直角顶点在以定边为直径的圆上”的定理来解决的。
(1)①有图有真相，把三个点描出来，如下图就可以很明显地看出∠AP1B不是直角，所以了不是内直角, 而 ∠AP2B就是内直角.
那么怎么判断∠AP3B是不是直角呢？可以通过勾股定理来判断。也可以先求AB的长，AB=根号(4^2 (-5-3)^2)=4倍根号5，并且记AB的中点为D，则D(2,-1)【用中点公式求得】。再求DP3的长，DP3= 根号(-2-2)^2 (-1-1)^2=根号17. 也不是说，P3并不在以AB为直径的圆上，所以∠AP3B不是直角，也就不是内直角了。
(1)②至少有两种解法，其依据相同，都是判断直线y=2x b与圆O有两个交点，才有可能产生在圆O内的点P。另一方面y=2x b与①中的圆D至少有一个交点，才能产生直角∠APB。
解法1：设P(x,2x b)，记AB的中点D(2, -1), 则
DP=根号((x-2)^2 (2x b 1)^2)=AB/2=2倍根号5，【即P在圆D上】
化简得关于x的一元二次方程：5x^2 4bx b^2 2b-15=0, 【要使x有解，判别式必须不小于0】
依题意，△1=16b^2-20(b^2 2b-15)= -4b^2-40b 300≥0.【高中的二次不等式，略有超纲】
解得-15≤b≤5.
又OP= 根号(x^2 (2x b)^2)<5,【即P在圆O内】
化简得关于x的一元二次不等式：5x^2 4bx b^2-25<0, 【要使x有解，判别式必须大于0】
依题意，△2=16b^2-20(b^2-25)= -4b^2 500>0.
解得-5倍根号5<b<5倍根号5. 【接下来求b的两个解集的交集】
∴-5倍根号5<b≤5.
解法2：直线AB的解析式为：y=2x-5, 即AB与y=2x b平行.
AB与原点的距离为：5/根号(1 4)=根号5，【运用了点到直线的距离公式，也可以用几何方法求】
y=2x b与原点的距离为： |b|/根号(1 4)=|b|/根号5，【同上】
AB与y=2x b的距离为：根号5 |b|/根号5，
依题意：根号5 |b|/根号5≤AB/2=2倍根号5, 【这样才有可能存在点P在圆D上】
解得-5≤b≤5.
又|b|/根号5<5,【这样才有可能存在点P在圆O内】
∴-5根号5<b≤5.
分析：(2)如图3，点N在以TD为直径的圆上, 记TD的中点C(t 2,0),
则(t 2)^2 n^2=(TD/2)^2=4.
4-n^2=(t 2)^2≥0, 解得-2≤n≤2,∴n=2最大.
不难发现, 当H从N点移动向M点时, t随之变大. ∴当H与N重合时, t最小, 当H与M重合时t最大.
当n=2时, (t 2)^2 4=4, 解得t=-2最小.
当H与M重合时 ,如图4, t 2-1=2, 解得t=1最大，如图4.
∴-2≤t≤1.
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