如果说复数产生是为了更好地刻画方程的解，那么四元数的产生则完全是认为的。所谓四元数是一种具有四个分量的复数的类似物，一般形式为
p=a bi cj dk
其中a,b,c和d为实数；i,j和k类似虚数，满足：
类似复数，定义p的共轭为p’=a-bi-cj-dk，于是，可以得到四元数的模为
|p|2=pp’=a2 b2 c2 d2
但是，与我们通常使用的乘法有根本性的差别是：这种运算是不满足交换律的，比如q是另一个四元数，那么在一般情况下，pq≠qp，这是人们创造的第一个不满足乘法交换律的数系。四元数是英国数学家哈密尔顿发明的，为了这个发明他思考了15年，问题的要害就在于乘法交换律。虽然至今为止也没有找到四元数的应用，可是四元数的发明过程使数学家明白了，在有些情况下不需要顾忌现实生活中的物理背景，凭借逻辑推理就可以构造出有意义的，合理的数学表达，通过这些表达促进数学的发展。事实上，正是在四元数的启发下，才有了超复数，向量分析，矩阵代数以及抽象代数等数学的重要研究领域的出现。
因此，随着对复数认识的深化，人么也加强了对数学认识的深化，知道了除了从现实生活和生产实践中抽象概念和运算之外，还可以从已有的数学结构出发，抽象出新的概念和运算法则，通过逻辑推理来构建新的数学。当然，数学研究的意义最终还需要现实的检验，正如爱因斯坦在1934年的著作《我眼中的世界》中所说：
迄今为止，我们的经验已经使我们有理由相信，自然界是可想象的最简单的数学结构的实际体现。我坚信，我们能够用纯粹数学的构造来发现概念以及把这些概念联系起来的定律，这些概念和定律是理解自然现象的钥匙。经验可以提供合适的数学概念，但是数学概念无论如何都不能从经验中推导出来。当然，经验始终是检验数学结构实用性的唯一标准，但是创造性的原理都存在于数学之中。因此，在肯定的意义上，我认为纯粹思维能够把握实在，就像古人所想象的那样。
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