等腰三角形中的顶角平分线、底边上的高线、底边上的中线,只要知道其中“一线”,就可以说明是其它“两线”。

运用等腰三角形“三线合一”的性质证明角相等、线段相等或垂直关系,可减少证全等的次数,简化解题过程。

一、直接运用

例题1、如图所示,房屋顶角 ∠BAC = 100°,过屋顶 A 的立柱 AD⊥BC,屋檐 AB = AC 。

求顶架上的 ∠B,∠C ,∠BAD 和 ∠CAD 的度数 。

数学三角形判定和性质思维导图(八年级数学三角形中)(1)

例题1图

解:

∵ 在 △ABC 中 AB = AC , ∠BAC = 100° , AD⊥BC

∴ ∠B = ∠C = 1/2 (180° - ∠BAC)= 40°

∴ ∠BAD = ∠CAD = 1/2 ∠BAC = 50°

例题2、如图所示,在 △ABC 中, AB = AC , AD = DB ,DE⊥AB 于点 E ,若 BC = 10 ,且 △BDC 的周长为 24 。

求 AE 的长 。

数学三角形判定和性质思维导图(八年级数学三角形中)(2)

例题2图

解:

∵ △BDC 的周长为 24 ,BC = 10

∴ BD CD = 14

∵ AD = BD

∴ AC = AD CD = BD CD = 14

又 ∵ AB = AC

∴ AB = 14

又 ∵ AD = DB , DE⊥AB

∴ AE = EB = 1/2 AB = 7

例题3、如图所示,在 △ABC 中 ,AB = AC , AD⊥BC 于点 D ,BE⊥AC 于点 E ,AD 和 BE 相交于点 H ,且 BE = AE 。

求证:AH = 2BD 。

数学三角形判定和性质思维导图(八年级数学三角形中)(3)

例题3图

证明:

∵ AD⊥BC , BE⊥AC

∴ ∠AEH = ∠BEC = ∠ADB = 90°

∴ ∠EBC ∠BHD = 90° , ∠EAH ∠AHE = 90°

∵ ∠BHD = ∠AHE

∴ ∠EBC = ∠EAH

∵ BE = AE

∴ △AHE ≌ △BCE

∴ AH = BC

又 ∵ AB = AC , AD⊥BC

∴ BC = 2BD

∴ AH = 2BD

二、添加“辅助线”运用

例题4、如图所示,在等边 △ABC 中 ,D 是 AC 的中点 ,E 是 BC 的延长线上的一点,且 CE = CD ,DM⊥BC 于点 M 。

求证: M 是 BE 的中点 。

数学三角形判定和性质思维导图(八年级数学三角形中)(4)

例题4图

证明:连接 BD

∵ 在等边 △ABC 中 , D 是 AC 的中点

∴ ∠DBC = 1/2 ∠ABC = 1/2 × 60° = 30° ,∠ACB = 60°

∵ CE = CD ∴ ∠CDE = ∠E

∵ ∠ACB = ∠CDE ∠E

∴ ∠E = 1/2 ∠ACB = 30°

∴ ∠DBC = ∠E = 30°

∴ BD = DE ∴ △BDE 为等腰三角形

又 ∵ DM⊥BC

∴ M 是 BE 的中点

三、构造运用

例题5、如图所示,在 △ABC 中 , AC = 2AB ,AD 平分 ∠BAC ,E 是 AD 上一点 ,且 EA = EC 。

求证:EB⊥AB 。

数学三角形判定和性质思维导图(八年级数学三角形中)(5)

例题5图

证明:过点 E 作 EF⊥AC 于点 F

∵ EA = EC ∴ AF = 1/2 AC

又 ∵ AC = 2AB ∴ AF = AB

∵ AD 平分 ∠BAC ∴ ∠FAE = ∠BAE

又 ∵ AE = AE ∴ △AEF ≌ △AEB (SAS)

∴ ∠ABE = ∠AFE = 90° , 即 BE⊥AB 。

例题6、如图所示,已知在等腰直角 △ABC 中, AB = AC ,∠BAC = 90° ,BF 平分 ∠ABC ,CD⊥BD 交 BF 的延长线于点 D 。

求证:BF = 2CD 。

数学三角形判定和性质思维导图(八年级数学三角形中)(6)

例题6图

证明:延长 BA , CD 交于点 E

∵ BF 平分 ∠ABC , CD⊥BD

∴ ∠EBD = ∠CBD ,∠BDE = ∠BDC = 90°

又 ∵ BD = BD

∴ △BDC ≌ △BDE

∴ BC = BE

又 ∵ BD⊥CE , ∴ CE = 2CD

∵ ∠BAC = 90° , ∠BDC = 90° , ∠AFB = ∠DFC

∴ ∠ABF = ∠DCF

又 ∵ AB = AC , ∠BAF = ∠CAE = 90°

∴ △ABF ≌ △ACE (ASA)

∴ BF = CE

∴ BF = 2CD

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