近代数学在提出无穷学说之后，果然像希腊人担心的那样，在数学界引起了混乱，令数学家烦恼不已。这种混乱一直延续着，直到1821年柯西点明了其中的关键。
那么首先回顾一下，无穷引起了什么样的怪事。
比方说考虑以下这个无穷级数：
假设求这个无穷级数和的人是想用归纳相邻项的方法进行计算。
计算这个无穷级数的和是困难的，但明显看出和是比1/2大的数。可是如果一个人稍微偷点懒，像下式那样计算，答案则为0。方法是漂亮的，假如这个人把加法和减法各自分开计算：
上式加上
再减去同样的项，答案应该是不变的。所以答案等于
这个狡猾的人得出的答案是0，到底哪个答案是正确的呢？想来想去似乎二者都正确。
下面举出捷克的哲学家波尔察诺（1781-1848）所著《无穷悖论》一书里写的例子。
那个例子是1和-1交替出现的级数（波尔察诺级数），即
为了计算这个级数，有三个人采用了三种不同的方法进行计算，结果得出三种不同的答案。
第一个人从开始就进行相邻两数的归纳计算，答案是0。
第二个人从第二个数开始再进行相邻两数的归纳计算，答案是1。
可是第三个人用代数方法，把未知数作为x来计算，答案是1/2。
结果x=1-x，解这个方程，则
最先得出这个1/2答案的人比波尔察诺要早100年，是名叫格兰第（1671-1742）的意大利人。
他用下述牵强附会的理由解释答案为什么是1/2。父亲给两个儿子留下一块宝石，可是一块宝石不能分开，于是决定兄弟俩一年换一次，轮流保存这块宝石，结果就是两人都有1/2块宝石一样。
没有答案的加法
这个叫无穷的怪物，虽然不断地破坏以往的一些知识，但是一段时间内，谁都愿意驯养这个怪物，这对数学的发展是否有好处呢？
柯西第一个创立了无穷级数的正确理论。由于这一点柯西建立了不朽的功绩，尽管他的着眼点多少有点像哥伦布立鸡蛋的故事，他敏锐地发现了他以前的数学家没有发现的两点，其中重要的一点就是计算的顺序。
把有限个数相加时，不管怎么变化相加的顺序，答案是不变的。例如计算 a，b，c 三个数的和，用下列六种顺序计算，结果都相同。
a b c，b c a，c a b，a c b，c b a，b a c。
这个事实不仅仅对于三个数成立，甚至100个数，1000个数等，只要是有限个数，总是成立的。
这是做加法运算时非常方便的法则。可是这个法则在无穷个数的加法运算中已经不成立，柯西以前的数学家们谁也没有注意到这个事实。
前面已经叙述了
当决定把它分成
时，实际上已经改变了计算顺序，这就是悖论产生出来的原因。如果规定这个无穷级数按照原来的排列顺序相加计算，悖论就不会产生了。
上面的例子，可以计算如下：
这样计算下去，可以知道这个无穷级数的值逐渐接近In2。
如果按照这个顺序计算下去，就不必担心答案会不一样。柯西还进一步把当时的数学家从一个迷信当中解放了出来。
这个迷信就是认为无穷级数总是有和的。这一点在有限级数中没有什么怀疑。例如求1000个数的和，只要坚持不懈连续计算下去最后一定会得出正确的答案。
但无穷级数的求和运算也可能没有答案，首先注意到这个问题的人就是柯西。
对于根本不存在的东西，若是假定它存在的话，其结果必然会引起混乱。比方说前面叙述过的波尔察诺级数就是如此，如果认为存在，则
结果得出x=1/2。根据柯西的理论，首先设x的做法就不对，答案必然不对。
由于无穷级数也可能没有和，所以后来的数学家不必非得找个什么理由去求和了。
柯西理会到进行无穷级数的求和运算过程中，不能随意改变相加的顺序，而且也可能有的无穷级数没有和，他还提出了与以前不同的新的想法，这就是数列的收敛和发散的概念。
设有下列无穷级数
要计算这个级数，必须从左边开始按顺序地相加：
此刻，形成一列数s₁，s₂，s₃，…，像这样按顺序排列的数叫数列。根据柯西的理论，这个数列在渐渐逼近某一确定数 s 的时候，成为数列sn收敛于s，把收敛目标的数 s 称作极限。
例如
这个无穷数列逐渐接近0，所以它收敛于0，极限是0（见图10-7）。
说到这里可能有人认为所有的困难都已经解决了，可是还有一个问题没有解决，那就是 "逐渐逼近s " 这句话。
* 节选自《数学与生活》10.3~10.4，作者远山启[日]。
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