我们都知道圆周率π，一开始人们是利用割圆术逐渐逼近的方法来计算π。我国古代著名数学家祖冲之就曾利用割圆术将π精确计算到小数点后7位。
π=3.1415926……
但这种计算方法的逼近速度太慢，在那个没有计算机的时代，要想准确计算π非常困难。荷兰数学家鲁道夫曾将π精确计算到小数点后35位，人们为了纪念他，将这个35位小数命名为“鲁道夫数”，并刻在了鲁道夫的墓碑上。
随着数学体系的发展，人们逐渐发现了π的多种表达方式和逼近公式。今天我们首先来介绍一个非常著名的表示π的级数——莱布尼茨级数。
我们一步步慢慢来，先求出反正切函数y=arctan(x)的导数。
求：y′(x)=arctan′(x)
解：y=arctan(x)，x=tan(y)
dx/dy=d[tan(y)]/dy=tan′(y)
=[sec(y)]^2=1 [tan(y)]^2=1 x^2
y′(x)=dy/dx=1/(dx/dy)=1/(1 x^2)
arctan′(x)=1/(1 x^2)
利用麦克劳林公式可将1/(1 x^2)作如下展开：
麦克劳林公式
1/(1 x^2)=1-x^2 x^4-x^6 …
这里展开过程从略，留给大家自行验证。
由arctan′(x)=1/(1 x^2)，可得
∫[1/(1 x^2)]=arctan(x)
由[x^(n 1)]′=(n 1)x^n，可得
[x^(n 1)/(n 1)]′=x^n
∫(x^n)=x^(n 1)/(n 1)
对以上等式两边同时积分
∫[1/(1 x^2)]=∫(1-x^2 x^4-…)
arctan(x)=x-x^3/3 x^5/5-…
由tan(π/4)=1，可得arctan(1)=π/4
对以上等式，令x=1
arctan(1)=1-1^3/3 1^5/5-…
我们得到了著名的莱布尼兹级数：
π/4=1-1/3 1/5-1/7 …
这个形式真是太美妙了，真是令人陶醉。
莱布尼茨级数
对莱布尼兹级数两边同乘以4，就得到了π的另一种表达式：
π=4×(1-1/3 1/5-1/7 …)
利用莱布尼兹级数来逼近π，显然比割圆术提升了一个维度。
然而，人们逐渐发现，莱布尼兹级数的收敛速度还是太慢了。英国数学梅钦受莱布尼兹级数的启发，提出了收敛速度更快的梅钦公式。
π/4=4arctan(1/5)-arctan(1/239)
梅钦公式
注意：梅钦公式并不是一个无穷级数，也不是一个近似公式，而是一个完全精确计算π的有限项等式。
如果你是第一次看到这个公式，你一定会惊讶于公式中出现的常数“239”，这个数是怎么出现的？这个数怎么可能精确计算π？
接下来我就严格证明梅钦公式，真正让你心服口服。
求证：
π/4=4arctan(1/5)-arctan(1/239)
证明：令tan(x)=1/5
根据二倍角公式
tan(2x)=2tan(x)/{1-[tan(x)]^2}
=2×(1/5)/[1-(1/5)^2]
=(2/5)/(24/25)=5/12
tan(4x)=tan(2×2x)
=2×(5/12)/[1-(5/12)^2]
=(5/6)/(119/144)=120/119
根据两角和差公式
tan(4x-π/4)
=(120/119-1)/[1 (120/119)×1]
=(120-119)/(119 120)=1/239
tan(4x-π/4)=1/239
4x-π/4=arctan(1/239)
π/4=4x-arctan(1/239)
=4arctan(1/5)-arctan(1/239)
π/4=4arctan(1/5)-arctan(1/239)
证毕！
利用前面推导的arctan(x)的展开式去计算：
arctan(1/5)和arctan(1/239)
arctan(x)=x-x^3/3 x^5/5-…
在那个没有计算器的年代，可以轻松将π计算到小数点后100多位，这是多么可怕的成就。是多么惊人的想象力才能创造出这样一个公式，就问你服气不服气。
然而，真正令人恐怖的人物即将出现。如果说人类历史上只有一位绝世数学天才的话，那这个人只能是拉马努金，在娜玛卡尔女神的指引下，拉马努金已然是那个最接近神的男人。
拉马努金
拉马努金说道，在我眼里梅钦公式的收敛速度实在是太缓慢了，于是他一挥手写下了震惊世人的拉马努金公式。
拉马努金公式
当我第一次看到这个公式时，内心的震惊无以言表，完全颠覆了我对数学公式的认知。拉马努金公式的出现让人类感受到了被神支配的恐惧，这是人类能够构造出来的公式吗？
拉马努金给公式几乎不给证明过程，只有结论。拉马努金一生创造了2000多个诸如此类的公式，这些公式大多都是灵光乍现写出来的，没有留下证明过程。后人通过反复研究拉马努金留下的宝贵遗产，已证得他留下的众多没有严格证明的结论中，几乎都是正确的。
“不要问我公式里面那些26390等常数是怎么来的，我只能告诉你那是娜玛卡尔女神在梦中指引我。”
1985年，人们第一次利用计算机对拉马努金公式进行计算，第一次出手就将π计算到了小数点后1700万位，开创了前无古人的新高度，这简直就是对莱布尼兹级数和梅钦公式的降维打击。
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