一道高中几何题-求圆的一个弦长

点A, B, C, D在一个圆周上,AC是直径,∠CBD=∠DBA,如果BC=2, AB=4,求BD的长度。参见下列的草图,注意这个草图不成比例。

圆中三大基本定理题型(一道高中几何题-求圆的一个弦长)(1)

圆中三大基本定理题型(一道高中几何题-求圆的一个弦长)(2)

解:

方法1:利用余弦定理, 如图将图形画的规范些, 可以看出点D是平分弧DC和弧DA, 这样D向CA的垂线的垂足为E是圆心。连接BE, 则BE和DE都是半径, 而直径AC利用勾股定理,可以求出,因为两个直角边为2和4, 所以

圆中三大基本定理题型(一道高中几何题-求圆的一个弦长)(3)

圆中三大基本定理题型(一道高中几何题-求圆的一个弦长)(4)

带入值后得出AC=2√5

所以BE=DE=√5

若要利用余弦定理求BD, 需要求角度∠EDD的余弦值,因此BF垂直于CA,垂足为F, 并设角∠BEC=α, 如下图:

圆中三大基本定理题型(一道高中几何题-求圆的一个弦长)(5)

BF按照面积的方法可以求出:

BF=(BC·BA)/CA=2·4/(2√5)=4/√5

所以sinα=BF/BE=4/5

因此cos∠BED=cos(α 90°)

=-sinα

=-4/5

随后在三角形BED中用余弦定理:

BD2=22 42-2x2x4(-4/5)

解出:

BD=3√2

方法2:用正弦定理, 如下图;

圆中三大基本定理题型(一道高中几何题-求圆的一个弦长)(6)

显然由于是同弧的圆周角相等,∠CDB=∠CAB=θ,

而sinθ=BC/AC=1/√5,

在三角形ABD用正弦定理有:

圆中三大基本定理题型(一道高中几何题-求圆的一个弦长)(7)

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