一、学习内容：
1、理解二次根式定义。
2、理解并掌握二次根式有意义的条件，能利用二次根式有意义的条件解决问题。
3理解并掌握（√a）²=a(a≥0)。
4理解并掌握√a²=丨a丨(当a≥0时，等于a；当a≤0时等于－a)。
二、学习方法指导
1、二次根式定义:形如√a(a≥0)的式子叫做二次根式。√称为二次根号，a称为被开方数。
理解:(1)二次根式表示的是非负数的算术平方根。
例:下列各式中哪个是二次根式，哪个不是二次根式，为什么不是？
①√5；②－√5；③√－5；④√－a²－1；⑤√a b(a≥0，b≥0)；⑥－√m 2(m≥－2)
⑦√－(x－2)²(x≠2)
解:①，②，⑤，⑥是二次根式，－√5表示5的负平方根，也可以说5的算术平方根的相反数。
③，④，⑦不是二次根式。因为③④⑦的被开方数都是负数，负数没有算术平方根，所以它们不是二次根式。
(2)因为在实数范围负数没有算术平方根，所以a≥0，√a≥0
例如:(1)已知|x－2| √y 3=0，求x－y的值。
分析:因为绝对值与算术平方根都是非负数，非负数的和为0，则每个数都等于0。解:∵|x－2| √y 3=0
∴x－2=0，x=2。y 3=0，y=－3。
∴x－y=2－(－3)=5。
(2)已知a，b为一等腰三角形的两边长，且满足2√3a－6 3√2－a=b－4，求此等腰三角形的周长。
解:∵3a－6≥0，∴a≥2
又∵2－a≥0，∴a≤2
∴a=2
又∵2√3a－6 3√2－a=b－4
∴b－4=0，∴b=4
∵该三角形为等腰三角形，且三角形两边之和大于第三边。
∴三角形的三边应是4，4，2。
∴三角形周长为4 4 2=10。
2、二次根式有意义的条件:被开方数大于或等于0。
理解:(1)像√2表示2的算术平方根，有意义。√－2则无意义，因为负数没有算术平方根。(2)根据二次根式有意义的条件确定字母的取值范围时，只要让被开方数大于或等于0即可。
例1:当x取何值时，下列各式在实数范围内有意义。
1、√x－2， 2、√2x 6，
3、√－x， 4、√x² 1，
解:1、由x－2≥0得x≥2。2、由2x 6≥0得x≥－3。3、由－x≥0得x≤0。4、由x² 1≥0可知x取任意实数时，x² 1都大于0，所以x的取值范围是全体实数。
例2:思考:(1)当x是怎样的实数时，√x²在实数范围内有意义？√x³？偶次方时x取值范围是全体实数，奇次方时x取值范围是x≥0。
(2)若√3x－1 √1－3x有意义，则x=____
因为要使题中的两根式都有意义，
则3x－1≥0可得x≥1/3，同时1－3x≥0，可得x≤1/3，所以x=1/3
巩固练习。
3、二次根式的性质(1)(√a)²=a(a≥0)。
解析:由算术平方根的定义可知x²=a，则x=√a，√a叫a的算术平方根，如√5是5的算术平方根，则(√5)²=5。
在x²=a中，因为任何一个实数的平方都大于或等于0，所于a≥0。因此(√a)²=a(a≥0)。
例1:计算:
①(2√5)²，②－(√7)²，③5(√3)²
④(√4)²－(3√2)²
解:①(2√5)²=2²×(√5)²=4×5=20
②－(√7)²=－7
③5(√3)²=5×3=15
④(√4)²－(3√2)²=4－9×2=4－18=－14
(2)√a²=|a|，
当a≥0时等于a 当 a≤0时等于－a。(即a≥0时等于它本身a，a≤0时等于它的相反数－a)
解析:因为√2²=√4=2。 所以√2²=2 。
而√(－2)²=√4=2 所以√(－2)²=2。
例如:1、化简(1) √(－5)² ，(2)√7²
(3)√(π－3)²， (4)√(a－1)²(a≤1)
解:√(－5)²=5， √7²=7
√(π－3)²=π－3 ( 因为π－3﹥0 ，所以等于它本身π－3)
√(a－1)²=－(a－1)=1－a，(因为a≤1则a－1≤0，所以等于a－1的相反数－(1－a)，再去括号得1－a。)
2、已知a √a²=0则a的取值范围是___。
因为a (－a)=0，所以√a²=－a，所以a的取值范围是a≤0。
3、已知0<x<1，化简|x|－√(1－x)²。
分析:因为0<x<1，所以x>0，|x|=x。因为0<x<1，所以1－x>0，√(1－x)²=1－x。解:|x|－√(1－x)²
=x－(1－x)
=x－1 x
=2x－1。
4、已知a，b在数轴上的位置如图所示，化简丨a b丨 √(b－a)²
解:∵a<0，b>0且丨a丨>丨b丨
∴a b<0，b－a>0
∴丨a b丨 √(b－a)²
=－(a b) (b－a)
=－a－b b－a
=－2a
,
