哪四个连续的自然数乘积等于1680（某数是四个连续自然数的乘积）(1)

网上有家长提问——

a、b、c、d是四个连续自然数，已知a×b×c×d=x，并且x的个位不为0，则x的个位是______.

【思路】
  1. 不难看出这是一道数论题，数论是解析重组自然数的学问；
  2. 数论七字诀“因倍质合余方位”，“因倍”是指因数、倍数、因数分解、公因、公倍、最大公因、最大公倍、因数定理等，“质合”是指质数、合数、分解质因数、质数判定、质数性质、特殊质数、乘积末尾0个数等，“余”是指带余除法、整除(余数)特征、余数性质、同余、剩余等，“方”是指乘方、平方数等，“位”是指位值原理，进位制等；
  3. 看到“四个连续自然数的乘积”和“乘积个位不为0”很自然就会想到“因”、“质”，从而想到去研究自然数中是否含有“2”、“5”；
  4. 但仅仅研究因数分解、质因数是不够的，我们还需要考虑到“余”；
  5. 充分利用余数的性质、整除(余数)特征、以及化带余除法为乘法表达式的技巧，便可化繁为简.
【步骤】

哪四个连续的自然数乘积等于1680（某数是四个连续自然数的乘积）(2)

充分结合整除与余数两方面知识才能解决

【详解】
  1. 2×5=10，10乘某自然数的乘积个位必为0；
  2. 若干个自然数相乘，只要它们的质因数里面有2以及5，乘积末尾必有0[1]；
  3. 四个连续自然数必有偶数[2]，并且若干个自然数相乘，但凡有一个自然数是偶数，乘积必为偶数[3]；
  4. 因为乘积x是偶数，则x=2×□，而只要x还含有质因数5，末尾必为0，所以x不含质因数5[4]；
  5. 因为乘积x不含质因数5，则四个自然数a、b、c、d均不含质因数5[5]；
  6. 因为四个自然数均不含质因数5，所以a、b、c、d除以5的余数不为0[6]；
  7. 任何不能被5整除的自然数，除以5的余数只有4种可能：余1、余2、余3、余4；
  8. 又因为四个连续自然数可表示为a、a 1、a 2、a 3，这四个数除以5的余数一定两两不等[7]；
  9. 综合第7条与第8条可以推出：这四个连续自然数a、b、c、d除以5的余数必定分别为1、2、3、4[8]；
  10. 根据余数的可乘性[9]，x除以5的余数等于“a除以5的余数×b除以5的余数×c除以5的余数×d除以5的余数”，即x除以5的余数等于“1×2×3×4=24”；
  11. 由于余数24大于除数5，所以应继续除下去：24÷5=4······4，所以x除以5的余数为4[10]；
  12. 因为x除以5余4，所以x=5×□ 4，又因为x是偶数，所以□一定是偶数，于是□=2×△[11]，代入原式得x=5×2×△ 4=10×△ 4，即x是一个10的倍数再加4，也即，x除以10余4，换言之——x是的个位是4.

答：x的个位是4.

【总结】
  1. 这是一道数论题，数论是解析重组自然数的学问；
  2. 数论七字诀“因倍质合余方位”，除了“余”，其余都是研究整除；
  3. 看到“四个连续自然数的乘积”和“乘积个位不为0”很自然就会想到“因”、“质”，从而想到去研究自然数中是否含有“2”、“5”；
  4. 但仅仅研究因数分解、质因数是不够的，我们还需要从“四个自然数均不含质因数5”的整除思维切换到“四个自然数除以5的余数非0且不同”这样的余数思维；
  5. 充分利用余数的性质、整除(余数)特征、以及化带余除法为乘法表达式的技巧，便可化繁为简.
  6. “因倍质合余方位”，“余”虽一个字，撑起数论半边天.
【参考】
  1. ^举几个例子：8×12=(2×2×2)×(2×2×3)=96、25×15=(5×5)×(3×5)=375、25×6=(5×5)×(2×3)=150、25×4=(5×5)×(2×2)=100，可以看出若干自然数相乘：①质因数里2再多没有5乘积末尾没有0，②质因数里5再多没有2乘积末尾没有0，③质因数中一个2与一个5搭配得到乘积末尾的一个0，④有多少对2和5乘积末尾就有几个连续0.
  2. ^四个连续自然数中必有偶数：设四个连续自然数中最小数为a，①若a为奇数，则a 1（四个自然数中第二小的数）必为偶数，②若a为偶数，本身就已经符合.
  3. ^举例：2×3×5×7=210（偶数），3×3×5×7=315（奇数）.
  4. ^可以理解为x由若干个“零件”相乘“组装”而成，x的零件里没有“5”.
  5. ^a、b、c、d可以理解为x的“组件”，这些“组件”可进一步拆解为“零件”，既然最终完成品x不含“5”，那么构成x的组件a、b、c、d的“零件”里也不可能有“5”.
  6. ^只要自然数除以5余0，就可以认为该自然数能被5整除.
  7. ^设n,m,q,r为自然数且m>r>0，带余除法n÷m=q······r可以变形为n=mq r，那么n 1=mq (r 1)，n 2=mq (r 2)，n 3=mq (r 3)，只要m>(r 3)，r、(r 1)、(r 2)、(r 3)一定是四个不同的余数.
  8. ^a除以5必定余1，否则必有b、c、d的某个数除以5余0，与前面的推理不符，举例：若a除以5余2，则b除以5余3，则c除以5余4，则d除以5余0（本来d除以5余5，但余数不能等于除数，如果等于了，可以再多除一次，于是余数变为0），若a除以5余3或余4同样可得到能被5整除的b或c或d.
  9. ^余数的可乘性说的是“积之余等于余之积”，即若干个自然数的乘积除以某数的余数等于这若干个自然数分别除以某数的余数的乘积（若乘积大于除数应继续除至小于除数为止），举例：24除以5余4，6除以5余1，24×6=144，那么144除以5余——4×1=4.
  10. ^也可以这样来理解：设k为自然数，x=5k 24=5k 5×4 4=5(k 4) 4.
  11. ^x分为两部分：5×□和4，4本身是偶数，所以想要x是偶数就必须让5×□是偶数（偶数＋偶数=偶数），而5×□中5是奇数，奇数必须乘偶数才能得到偶数，所以□一定是偶数，即□=2×△，这里的□、△都是待定自然数.
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