女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少。
一些最有趣的伊斯兰交织图案包括十角星或十瓣蔷薇花。这些图案具有局部的十重对称性，但它们通常是平面周期图案的一部分，而平面周期图案可能没有整体的五重或十重对称。与其在周期性图案中使用这些主题，我们能不能以某种方式将它们整合到基于彭罗斯密铺（有许多局部五重对称）的图案中？
图1：阿富汗和土耳其的交织图案
1.交织图案和彭罗斯密铺
1.1.交织图案。十角星(图1a)和十瓣蔷薇花结(图1b)出现在许多国家的伊斯兰交织图案中。图1b显示了土耳其孔亚卡拉塔伊梅德雷塞（Karatay Medrese）非常精细的图案的一部分；如果我们忽略上下交织，穿过蔷薇花结中心的水平线和垂直线是图案的镜像线，标记为A的点是2重旋转中心。虽然这种图案中的蔷薇花结和其他小图案具有局部五重或十重对称性，但众所周知，平面中的周期图案不可能具有任何整体五重对称性。五重对称可以在完整的周期图案上延伸的一种情况是在十二面体或球体上。这种想法似乎并没有在建筑中得到广泛应用，但西班牙塞维利亚阿尔卡扎雷斯皇家宫殿（Reales Alcázares）王子室的一个壁龛有一个多面体圆顶天花板，包含8个梯形平面，角度分别为72°和108°，十瓣蔷薇花结整齐地嵌入其中。
在简要描述彭罗斯密铺之后，我们展示如何创建非周期性的伊斯兰风格的图案，分享彭罗斯密铺的一些几何属性。
1.2.彭罗斯密铺。彭罗斯的风筝和飞镖的拼块是非周期性的——它们不会有规律地重复。在[5，第10章]中可以找到这种拼块的描述，图2显示了一个例子;我们将只说明它们的一些基本性质，而不加以证明。风筝和飞镖贴图的边长为τ:1，其中τ =(1 √5)/2是黄金比例，它们的角度是36º的倍数。确保非周期性的方法之一是把瓷砖交替涂黑色和白色：144º角的风筝和36º角的飞镖是黑色的，角落里的拼块在一个顶点必须要么全黑或全白。这个额外的要求确保顶点颜色的风筝和飞镖只能以非周期性的方式放在一起，如[5]中所述。
图2：由风筝和飞镖组成的彭罗斯密铺
1.3. 彭罗斯型图案。有两个特性使彭罗斯密铺在这里引起了我们的兴趣：虽然它们是非周期性的，但它们包含任意大的具有五重旋转对称性的有限区域，而且任何有限区域在瓷砖中都无限重复。因此，与其产生与平面对称群相关的周期性伊斯兰风格的图案，不如能够产生与彭罗斯密铺有某种联系的伊斯兰图案，特别是含有星形或花环图案的图案。我们将以探索性的方式着手进行，并将等到最后才试图给出“彭罗斯型图案”这一术语的定义。图1b中的Karatay图案，以及Karatay风格的彭罗斯型图案，将构成我们研究的起点和终点。
2. 创建彭罗斯型图案
2.1. 创建彭罗斯型图案的方法。将图案与彭罗斯瓷砖联系起来的显而易见的方法是在风筝和飞镖上各自绘制一部分图案，这样，当这些部分图案的副本被用于彭罗斯瓷砖的每个风筝和每个飞镖上时，（a）当两块瓷砖的边缘相接时，部分图案就会整齐地合在一起，（b）产生的整体图案看起来具有伊斯兰风格。换句话说，我们使用有图案的风筝和有图案的飞镖的副本来创造一个整体的彭罗斯型图案。满足标准（a）和（b）并不像听起来那么容易，（b）涉及到一个主观的判断。
2.2. 骨架式的伊斯兰图案。首先，我们必须习惯于研究和创造伊斯兰图案。在研究交织图案的结构和几何形状时，使用图案的骨架形式是很方便的，在这种情况下，交织编带被简化为一条线；原始图案中的背景形状现在成为密铺中的拼块，而交织编带成为拼块的边缘。图1a中的星形图案以及图1b中的狮子头和五颗钻石图案的骨架形式见图3，图1b中的花环见图4。“骨架图案”一词很方便，但也许不公平，因为这种图案本身就经常作为陶瓷墙面图案出现，而不仅仅是编织图案的简化图。(艺术家埃舍尔复制了阿尔罕布拉宫的一个图案，该图案同时以骨架和编织的形式出现，只有微小的变化；[1, pp.41, 53])。
图3：图1中图案的骨架形式
2.3.一种使用受限拼块集的彭罗斯型图案。图3中的狮子头图案是由许多来源的图案中频繁出现的拼块形状组成的：一个边长为1的正五边形，一个边长为1的非凸10边形，以及一个总是与两个小风筝结合形成边长为2的菱形的非凸8边形；我将这些拼块称为“4拼块”。许多有趣的图案可以用“4拼块”的复制品来创造，但这样的图案似乎不会出现在伊斯兰建筑中。然而，在架构上和图案集合[2，4，6]中确实出现了“4拼块”与星形主题相结合的例子(图3)。图1a显示了一个这样的示例。在与一位同事合作创作“4拼块”图案时，我考虑制作一种彭罗斯型“4拼块”图案的可能性；为了开始，我决定也引入星星，然后我就能够设计出图5所示的风筝和飞镖。风筝和飞镖的每个角落都有一颗偏心的星星，而风筝和飞镖上的半菱形和偏星拼接在一起，形成了完整的菱形风筝和飞镖。当将图5的图案应用于图3中矩形内包围的彭罗斯密铺部分时，所得到的图案如图6所示。
图4：蔷薇花结图案的骨架形式
图5：有图案的风筝和飞镖
2.4 彭罗斯型Karatay图案。图6本身就是一个完美的彭罗斯型图案，但在这个阶段，我仍在试图制作一个彭罗斯型的“4拼块”。我最初的想法是用狮子头图案取代图6中的每一颗星星，我们可以这样做，因为这两个图案的大小和形状都是一样的，但是这个过程破坏了彭罗斯图案的大部分局部5倍旋转对称性，所以这个结果很难说是彭罗斯型。然而，在用纸板拼块铺设了图6之后，我想到，我们可以将这个图案转化为具有图1b中Karatay图案的许多特征的图案。图中标有A的星星被一个由10个五角星、10个菱形和10个十角星组成的环形所包围。菱形和10个十边形，然后是20个五边形的环形。我们注意到，图4中的蔷薇花图案正好被20个五角星所包围，所以标有A的星和它周围的环境都可以被蔷薇花图案所取代。同时，让我们把最靠近B星的星星（图中有3颗，分别标为X、Y、Z）换成狮子头，全部朝向B的中心，结果见图7。
图6：从图5得到的一个基本的彭罗斯型图案
图7：对图6中图案的修改
我们发现星星B现在被20个五角形包围，所以它(及其周围)也可以被一个蔷薇花取代。可以用与星星B大致相同的方式来处理星星C；步骤并不完全相同，但我们又一次以蔷薇花环结束，如图8所示。最后，由于Karatay图案不包含星星，我们可以用5颗钻石图案和狮头图案以某种适当的方式替换剩下的星星。
请注意，图6只显示了无限图案的一小部分。星星A的中心位于底层拼块(图2)的一个点上，即5只风筝相遇的地方；我们将所有具有这一特性的无限图案的星星都以与A相同的方式处理，用蔷薇花环替换它们及其周围环境。星星B的中心位于底层拼块的一个点上，即5个飞镖的交汇点；我们对所有具有相同属性的星星进行与B相同的处理；星星C位于底层瓷砖的一点，即4个风筝和一个飞镖相交的点；在可能的情况下，我们对所有的星星(如C)进行与C相同的处理，但如果它们离星星A或星星B太近，就不能这样做。因此，图6-8显示了无限图案的有限小部分；不幸的是，当我们可以看到比这里可能看到的更大的部分时，这些图案才开始以合适的方式展示其彭罗斯品质。
2.5关于“彭罗斯型”定义的思考。在上一段的最后一句话中，“合适的方式”是什么意思？我们可以对图案进行哪些修改，同时仍将其描述为“彭罗斯型”？以下是对这一问题的一些思考，但它们没有提供准确的定义。例如，如果存在将P上的图案部分变换为Q上的图案部分的等距变换(保距变换)，则图案或密铺中的两个区域P和Q是全等的。
如果我们从一个彭罗斯密铺T开始，用图案化的风筝和飞镖代替它的风筝和飞镖，如2.1所述，T被转化为一个图案T*；让我们同意说T*是一个彭罗斯型图案，或者更准确地说，是一个基本的T型图案。为了得到一个修改过的T型图案，我们用另一个补丁P′（其中P和P′的边界具有相同的大小和形状）取代T*中的一块瓷砖P，同时我们用一个与P′相同的补丁Q′取代与P相同的其他补丁Q。(例如，在2.4中，我们用蔷薇花瓣取代了所有某种类型的星星和它们周围的瓷砖）。) 可以执行任意数量的这样的修改。
图6显示了一个基本的彭罗斯型图案；图7和图8显示了从图6获得的修改图案。
图8：对图6和图7作进一步修改
3.其他彭罗斯式图案
3.1. 与2.4相似的图案。图5中每颗星的中心都位于图3所示的底层瓷砖的一个顶点。在风筝和飞镖拼块中只有7种类型的顶点[5, p.561]（如果两个顶点被其相邻的风筝和飞镖以同样的方式包围，那么它们就是同一类型），简单的调查表明，任何星星都可以受到类似于2.4中对于C的处理，用狮子头图案替换相邻的星星，然后用花环替换星星和其周围。只要两颗星的中心距离不小于s t，其中s和t是风筝和飞镖的短边和长边的长度，就可以同时接受这种处理。
在2.4中，我们将所有的A型和B型星星，以及尽可能多的C型星星替换成蔷薇花。图2中另一种类型的顶点是标记为D的顶点。很容易验证的是，如果我们考虑A、B和D类型的所有顶点，其中任何两个顶点之间的距离至少是s t，所以我们可以用蔷薇花替换所有相应的星星，以获得与2.4中不同的彭罗斯类型图案。
我们无法对其余类型的星体进行类似的处理——在平面的某个地方总会有成对的星星靠得太近。但是如果我们只是对在平面的一个小区域内创造一个令人愉悦的图案感兴趣的话，也许可以找到其他可以被替换的星星。
3.2 其他图案。只用2.3中描述的“4拼块”就可以创造出彭罗斯型图案。作为形状的图案，它们并不吸引人，但适当的着色会使它们变得生动。J.-M. Castéra [3, p.287] 描述了一种基于彭罗斯菱形的彭罗斯型图案的不同方法。这里没有空间来描述和说明这些想法，但有可能在我的演讲中包括这些想法。我们以另一个图案作为结论，这个图案似乎更加精细，因为我们在图9中可以看到更多的图案。上边中间的花环中心是完整图案的一个5倍旋转中心。
图9：通过类似过程得到的另一个彭罗斯型图案
参考文献
[1] F. H. Bool et al., Escher, with a Complete Catalogue of the Graphic Works, Thames and Hudson, 1982.
[2] J. Bourgoin, Arabic Geometrical Pattern and Design, Dover, New York, 1971.
[3] Jean-Marc Castéra, Arabesques: Decorative Art in Morocco, ACR Édition, Paris, 1999.
[4] Issam El-Said and Ayşe Parman, Geometric Concepts in Islamic Art, Scorpion Publishing and World of Islam Festival Trust, 1976.
[5] Branko Grünbaum & G. C. Shephard, Tilings and Patterns, W. H. Freeman and Co., 1987.[6] G. Necipoglu, The Topkapi Scroll – Geometry and Ornament in Islamic Art, The Getty Centre for the History of Art and the Humanities, 1995.
[7] John Rigby, A Turkish Interlacing Pattern and the Golden Ratio, Mathematics in School, Vol. 34 No. 1. pp. 16 – 24, 2005.
[8]John Rigby and Brian Wichmann, Some Patterns Using Specific Tiles. Not yet published.
[9]John Rigby, Creating Penrose-type Islamic Interlacing Patterns
青山不改，绿水长流，在下告退。
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