肖博数学大题专练·(十五) 三角函数与解三角，今天小编就来说说关于高中数学三角函数部分练习题?下面更多详细答案一起来看看吧!
高中数学三角函数部分练习题
肖博数学大题专练·(十五) 三角函数与解三角
形
A 级 基础达标
1.(2017·天津高考)在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为
a，b，c。已知 asinA=4bsinB，ac= 5(a
2-b
2-c
2
)。
(1)求 cosA 的值;
(2)求 sin(2B-A)的值。
解 (1)由 asinA=4bsinB，及 a
sinA=
b
sinB，得 a=2b。由 ac= 5(a
2
-b
2-c
2
)，及余弦定理，得 cosA=
b
2 c
2-a
2
2bc =
-
5
5
ac
ac =-
5
5 。
(2)由(1)，可得 sinA=
2 5
5 ，代入 asinA=4bsinB，
得 sinB=
asinA
4b =
5
5 。
由(1)知，A 为钝角，所以 cosB= 1-sin2B=
2 5
5 。于是 sin2B=
2sinBcosB=
4
5，cos2B=1-2sin2B=
3
5，故 sin(2B-A)=sin2BcosA-
cos2BsinA=
4
5×
-
5
5
-
3
5×
2 5
5 =-
2 5
5 。
2.(2017·山东高考)设函数 f(x)=sin
ωx-
π
6 sin
ωx-
π
2 ，其中
0<ω<3。已知 f
π
6 =0。
(1)求 ω;
(2)将函数 y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐
标不变)，再将得到的图象向左平移π
4个单位，得到函数 y=g(x)的图象，
求 g(x)在
-
π
4，
3π
4 上的最小值。
2
解 (1)因为 f(x)=sin
ωx-
π
6 sin
ωx-
π
2 ，
所以 f(x)=
3
2
sinωx-
1
2
cosωx-cosωx=
3
2
sinωx-
3
2
cosωx= 3
1
2
sinωx-
3
2
cosωx = 3sin
ωx-
π
3 。
由题设知 f
π
6 =0，所以ωπ
6 -
π
3=kπ，k∈Z。
故 ω=6k 2，k∈Z。又 0<ω<3，所以 ω=2。
(2)由(1)得 f(x)= 3sin
2x-
π
3 ，
所以 g(x)= 3sin
x
π
4-
π
3 = 3sin
x-
π
12 。
因为 x∈
-
π
4，
3π
4 ，所以 x-
π
12∈
-
π
3，
2π
3 。
当 x-
π
12=-
π
3，即 x=-
π
4时，g(x)取得最小值-3
2。
3.(2017·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，
c。已知 sinA 3cosA=0，a=2 7，b=2。
(1)求 c;
(2)设 D 为 BC 边上一点，且 AD⊥AC，求△ABD 的面积。
解 (1)由已知条件可得 tanA=
sinA
cosA=- 3，所以 A=
2π
3 。
在△ABC 中，由余弦定理得 28=4 c
2-4ccos
2π
3 ，
即 c
2 2c-24=0。
解得 c=-6(舍去)，或 c=4。
(2)如图由题设可得∠CAD=
π
2，
所以∠BAD=∠BAC-∠CAD=
π
6。
3
故△ABD 面积与△ACD 面积的比值为
1
2
AB·AD·sin
π
6
1
2
AC·AD
=1。
又△ABC 的面积为1
2×4×2sin∠BAC=2 3，
所以△ABD 的面积为 3。
4.(2017·湖北七市联考)如图，已知△ABC 中，角 A，B，C 的对
边分别为 a，b，c，C=120°。
(1)若 c=1，求△ABC 面积的最大值;
(2)若 a=2b，求 tanA。
解 (1)由余弦定理得 a
2 b
2-2abcos120°=1，
a
2 b
2 ab=1≥2ab ab=3ab，
当且仅当 a=b 时取等号，
解得 ab≤
1
3。
故 S△ABC=
1
2
absinC=
3
4
ab≤
3
12，
即△ABC 面积的最大值为 3
12。
4
(2)∵a=2b，∴由正弦定理得 sinA=2sinB，
又 C=120°，∴A B=60°，
∴sinA=2sin(60°-A)= 3cosA-sinA，
∴ 3cosA=2sinA，∴tanA=
3
2 。
B 级 能力提升
5.(2017·广州综合测试(一))如图，在△ABC 中，点 P 在 BC 边
上，∠PAC=60°，PC=2，AP AC=4。
(1)求∠ACP;
(2)若△APB 的面积是3 3
2 ，求 sin∠BAP。
解 (1)在△APC 中，因为∠PAC=60°，PC=2，AP AC=4，
PC2=AP2 AC2-2·AP·AC·cos∠PAC，
所以 2
2=AP2 (4-AP)
2-2·AP·(4-AP)·cos60°
整理得 AP2-4AP 4=0，解得 AP=2。
所以 AC=2，所以△APC 是等边三角形，
所以∠ACP=60°。
(2)解法一：因为∠APB 是△APC 的外角，
所以∠APB=120°。
因为△APB 的面积是3 3
2 ，
所以1
2
·AP·PB·sin∠APB=
3 3
2 ，
解得 PB=3。
在△APB 中，AB2=AP2 PB2-2·AP·PB·cos∠APB=2
2 3
2-
2×2×3×cos120°=19，
5
所以 AB= 19。
在△APB 中，由正弦定理得 AB
sin∠APB=
PB
sin∠BAP，
所以 sin∠BAP=
3sin120°
19 =
3 57
38 。
解法二：作 AD⊥BC，垂足为 D，如图。
由(1)知，△APC 是边长为 2 的等边三角形，
所以 PD=1，AD= 3，∠PAD=30°。
因为△APB 的面积是3 3
2 ，
所以1
2
·AD·PB=
3 3
2 。
解得 PB=3，所以 BD=4。
在 Rt△ADB 中，AB= BD2 AD2= 19，
所以 sin∠BAD=
BD
AB=
4
19，cos∠BAD=
AD
AB=
3
19。
所以 sin∠BAP=sin(∠BAD-30°)=sin∠BADcos30°-cos∠
BAD·sin30°=
4
19×
3
2 -
3
19×
1
2=
3 57
38 。
6.(2017·东北三校联考)已知在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边
分别为 a，b，c，且a-c
a-b
=
sinA sinB
sin(A B)
。
(1)求角 B 的值;
(2)若△ABC 的外接圆半径为 1，求△ABC 面积 S 的最大值。
6
解 (1)∵A B C=π，∴sin(A B)=sinC，
a-c
a-b
=
sinA sinB
sinC ，
由正弦定理得a-c
a-b
=
a b
c ，即 b
2=a
2 c
2-ac，
结合余弦定理，有 cosB=
1
2，B∈(0，π)，∴B=
π
3。
(2)解法一：2R=2=
b
sin
π
3
⇒b= 3，
所以，b
2=3=a
2 c
2-2accos
π
3≥2ac-ac=ac(当且仅当 a=c 时
取等号)。
所以 S=
1
2
acsinπ
3≤
3 3
4 。
解法二： S =
1
2
acsinB =
3
4
ac =
3
4 ×2sinA×2sinC = 3
sinAsin
2π
3 -A = 3sinA
3
2
cosA
1
2
sinA =
3
2
( 3sinAcosA sin2A)=
3
2
3
2
sin2A-
1
2
cos2A
1
2
=
3
2
sin
2A-
π
6
3
4 。
∵0
2π
3 ，∴-
π
6
<2A-
π
6
<
7π
6 ，
∴2A-
π
6=
π
2，即 A=
π
3时，S 取到最大值3 3
4 。
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