祖暅原理——解决不规则几何体体积的利器，高考数学立体几何难点一课通关，借助面积相等构造规则几何体是关键。
如果我们遇到不规则几何体，怎样去求体积呢？有人说 “积分”，有人说“转化”，积分在新课程新教材中已经删除了，很多椭球型相关几何体也无法通过普通的转化来解决。
那怎么办呢？这里就给出了我们这节课的内容——祖暅原理，借助祖暅原理来处理不规则几何体的体积问题。
我们先看一下祖暅原理：数学家祖冲之、祖眶父子在《缀术》提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，利用牟合方盖的体积推导出球的体积公式，我们理解一下：只要两个等高的几何体在所有等高处的水平截面的面积都相等，则这两个几何体的体积相等。反之不成立，如果两个几何体体积相等，不能说这两个几何体等高处面积相等。
通过这个祖暅原理我们就可以将不规则的难以研究的几何体的体积问题通过构造在等高处面积相等来转化成我们熟悉的几何体来研究。只要满足在所有的等高处面积相等，我们就可以得到体积相等。
第一问：利用祖暅原理推导半径为R的球的体积公式时，可以构造一个圆柱挖去一个圆锥，为什么这两个几何体体积相等呢？我们看一下它是否满足祖暅原理。通过证明我们发现在任意等高处所对应的S1和S2总是相等的。根据祖暅原理，就可以得到前面半球的体积就等于后面圆柱减去圆锥的体积，进而借助这么一个规则的几何体，我们求出球体的体积。
第二问：借助第一问的方法，求椭球型几何体体积。这里的难点就是借助圆锥曲线中椭圆的方程求出截面圆的半径，求出高度为变量d时对应的截面面积，然后根据面积这个代数式的特点联想已知几何体在等高处截面面积进行等面积构造。得到半椭球的体积就等于后面这一个圆柱的体积减去圆锥的体积。
我们再次提示，当遇到不规则几何体的时候，我们需要去构造。构造一个规则的几何体，使得在任意的等高处截面面积都相等。这种构造不一定是唯一的，我们在立体几何专栏，用了11节课的时间来研究了这种问题，比如说双曲线旋转我们怎么办？抛线线旋转我们怎么办？方法都是类似的，大家认真体会一下。如需系统学习高考数学知识系统，请按需选用高考数学总复习专栏，先看目录，15天通关高中数学全部内容，祝大家高考成功。
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