摘要：简单介绍了平面密铺、正多边形密铺，不规则多边形密铺，最后介绍了目前发现的15种五边形密铺。资料来源见文末参考文献。
1.平面密铺平面密铺也称为镶嵌。所谓平平面密铺就是规则的平面分割。用一些形状大小完全的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地把平面的一部分完全覆盖。一般来说， 构成一个平面密铺图形的基本单元是多边形或类似的常规形状， 例如经常在地板上使用的方瓦（地板砖）。
在所有的常规的多边形中，仅仅三角形，正方形，和正六边形能被用于平面密铺。但许多其他不规则多边形平铺后也能形成平面密铺，例如有许多平面密铺就使用不规则的五边形形状。
这方面最著名的早期研究者当数埃舍尔，他对一种他称为metamorphoses（变形）的形状特别感兴趣。在平面密铺图形中利用这些基本的图案，用几何学中的反射、平滑反射、变换和旋转来获得更多的变化图案。他也精心地将这些基本图案扭曲变形为动物、鸟和其他的形状。这些改变要通过三次、四次甚至六次的对称，最后形成各种惊人美丽的平面密铺。
埃舍尔镶嵌图形1
埃舍尔镶嵌图形2
埃舍尔镶嵌图形3
埃舍尔镶嵌图形4
密铺理论的应用很多。建筑设计中的各种图案，堆放物体时如何最大地利用空间（三维密铺），晶体学中如何优化晶体结构等等。
数学家在讨论平面密铺时，有严谨的分类和定义，如周期性密铺（使用的图案是重复的），非周期性密铺，单面密铺（所有使用的图形都同胚于一个圆盘），单密铺（只使用一种全等的图案），正规密铺（使用高度对称的同种正多边形的单密铺）。对于密铺图形的对称性研究，还引入了Wallpaper groups（共17种），用群论的现代方法来处理问题。
这里我们只简单介绍周期性密铺中的简单的多边形单密铺。如果对一股的理论有兴趣，或者想见识一下数学上对凸规则多边形密铺的分类，可以去wiki上查询Euclidean tilings of convex regular polygons
2.正多边形密铺对于正 n 边形，可以分成 (n-2) 个三角形，内角和是 (n-2)*180 度，一个内角的度数是 (n-2)*180÷n 度。若(n-2)*180÷n能整除360，那么就能用它来密铺平面，否则不能用于密铺。如此看来，只有三种正多边形可以平面密铺（这就是为什么只有这三种瓷砖）：
正三角形密铺
正四边形密铺
正六边形密铺
3.不规则多边形密铺显然，不规则三角形和不规则四边形都可以密铺。
不规则三角形密铺
不规则四边形密铺
虽然这个多边形平面单密铺问题从公元前就已经出现，可是其的圆满解决方案迟迟没有出现。这—等，就等到1963年。1963年是什么时候呢？相对论已经成熟的应用于生活，计算机技术已经开始发展，希尔伯特问题提出已经过去几十年，数学在泛函分析，数论，PDE，拓扑学，ODE极限环理论等等分支上已经取得了很多成就，然而这个多边形单密铺问题还在继续等待着人类去挖掘。
1963，数学家证明只有三种不规则六边形密铺（见下图。图形下方为三种方式的不同结构基元(lattice)，转自Hexagonal tiling。其中还给出13种拓扑等价的六边形密铺方式；六边形密铺较五边形密铺在自然界中常见，其应用也更多）
3 types of monohedral convex hexagonal tilings
13 isohedrally-tiled hexagons
然后证明了任何凸n边形(n>7)都没有合适的单密铺方式。
至此，你也猜到了，只要解决了不规则的五边形密铺问题，就宣告了多边形单密铺问题的完美解决！这就是为什么新五边形的发现，让一些数学家觉得很激动，乃至上了新闻被普通人看见。
于是，数学家的目光叉转向了五边形…...（然而这个坑特别大）
2015年，美国华盛顿大学数学系副教授卡西·曼夫妇发现了新的平面密铺五边形，是全球第15种平面密铺五边形。而距上次发现类似发现的平面密铺五边形已时隔30年，这项发现相当于在数学领域中寻获了新原子粒子。
截止目前发现的15种平面密铺五边形
4.五边形平面密铺对于不规则五边形密铺的研究，要从德国数学家Karl Reinhardt说起。我们都知道1900年，Hilbert在巴黎数学家大会上提出了23个最重要的问题供二十世纪的数学家们去研究，这就是著名的”希尔伯特23个问题”。其中第18个问题：如何用全等多面体构造空间？由德国数学家比勃马赫(1910)、菜因哈特(1928)作出部分解决。菜因哈特（Karl Reinhart 1895—1941）是一位有着独特想象力的几何学家。他酷爱几何研究，对多边形的研究更是非常了得。解决了极大面积n边形（所有边长均为1的多边形中面积最大的多边形）问题的特殊情况，提出了Smoothed octagon（可能是具有最小背包密度即打包整理最浪费空间的平面对称图形）。其还有一个重要的发现是凭借出色的平面几何功底与直觉，他发现了前5种不同的五边形密铺方式，开启了一个新的研究方向。它们分别是：
第1个：利用两个五边形拼成了一个类似平行四边形的图案，然后类比我们之前的平行四边形密铺方式。
第2个：类比之前的—般四边形密铺方式，形成一个可拼接的结构。
第3个：将正六边形密铺方式恰当分割即可。
第4个：类似第2个。
第5个：这个很难想到，大概是借鉴了花瓣的形成方式和六边形密铺方式，将正六边形的各边改成棱角状然后划分成6个五边形。
当你以为五边形研究会一帆风顺的进行下去时，却又过了毫无新发现的50年，甚至大家都产生了其实就只有这5种的感觉。
第6 ~ 8个( 由Kershner，1968年)的发现应归功于科学分析新方式的成功应用。这次由Kershners在美国数学月刊上发的一篇详细分析的文献给出，有理有据使人信服，见On Paving the Plane on JSTOR
不得不说这3种五边形密铺方式非常奇怪，因而有一定难度。
第6个：像是平行四边形密铺的另一种变体。
第7个，第8个：已经不能三言两语说清其中的结构了。
然后这位Kershner想必也是费了一番功夫，用一大段论证了只可能存在这8种五边形平面密铺方式，然而事实不是这样的。
第10个( James 1975年）在阅读了上面这位老兄的文章后，1975年Richard E James IH经过思考找到了叉一种。
第10个：这个挺像先强行用拼成的五边形构成一个类似的四边形去铺平面，然后用同一种五边形去填补留下的缝隙，然后通过计算角度解方程使其能填满。
你可能会有疑问，为什么是10不是9，9难道被谁吃了么？
那是因为突然出现了一位神乎其神的研究者，在默默无闻地研究这个问题。
第9, 11 ~ 13个：( Marjorie Rice 1975-1977)是家庭主妇马乔里赖斯( Marjorie Rice)给出，当时50多岁，家住在California她从《科学美国人》杂志中看到了James的文章，感觉很有趣，Rice觉得在家闲着也是没有事做，不如无聊研究看看吧，于是她成为了一名平面密铺理论的业余的数学家。至1977前，她发现了五十多种多边形密铺方式（不止是单密铺），包括4种新的五边形密铺方式。
这是一个人想出来的么？这个结构基元排列感觉略复杂，都是8个五边形拼出来的图形，大概就是先拼接再组合，形成4种不同的模式，和之前的相比，更加奇怪了。所以还是不自找麻烦去简单分析别人2年得到的成果了，这绝对不是简单的涂涂画画就可以得到的。所以美国家庭主妇闲下来真可怕，恐怕James和kershner看见后内心也是复杂无比的心情。
第14个：( Rolf Stein 1985）是21世纪前最后一次平面密铺的发现。
看起来是三个八边形互相扣在一起形成一个结构基元(lattice)，然后结构基元(lattice)之间互相扣着，绿线的划分是为了恰好得到了六个全等的五边形，具体角度应该是由方程解出。
从前述可以看邮，结构基元(lattice)在密铺理论中的重要性，可以先确定结构基元，再去试图划分得到所需的五边形，具体角度和边长可以再列方程解出。
还有仅借助人力枚举法不太可取，进度太慢。比如，从1985年到2015年，都没有新的密铺方式发现。
第15个： Mann/McLoud/Von Derau (2015)是计算机大显身手的结果。
借助计算机的枚举，数学家得到了最新的第15种平面密铺，为什么说这第15种很重要，我想原因也在于其结构的复杂性和将计算机程序引入枚举工作的新思想。
由12个五边形凑成的结构基元(lattice)。
为什么没有人能提前发现这种新的密铺方式？能够看出，人类有限的枚举和计算能力，限制了进一步发现更多密铺方式。感谢数学家和计算机的辛勤工作，让我们看到了这个美丽的图形。
目前为止，已发现的15种平面密铺图形为：
参考文献：
- 知乎：如何看待美国数学家发现可无缝密铺平面的五边形？（https://www.zhihu.com/question/34916541/answer/60644653）
- wiki：Hexagonal tiling （https://en.wikipedia.org/wiki/Hexagonal_tiling）
