一．概念描述
现代数学：比，亦称单比，算术术语。比较两个同类量之间的一种倍数关系，称为这两个同类量的比。在单位相同时，两个量的比可以用表示这两个量的数的比来代替。两个数相比，也可以说成两个数相除。比的概念是从比较两个同类量之间的倍数关系而产生的，后来推广到两个不同类量的比。但无论是同类量的比还是不同类量的比，都可以归结为两个数的比。
比例，算术术语，指四个数（或四个量）之间的一种关系式。如果两个数（或量）的比，等于另外两个数（或量）的比，则称这四个数（或量）成比例。
小学数学：小学数学教材中一般认为，两个数相除，又叫作这两个数的比。
二．概念解读
小学数学里，“比”是专有名词，意为倍数之比。
建立比的严格理论的是欧多克索斯。他引入了一个变量的概念，它不是整数。欧多克索斯认为整数是跳动的个体（即离散的），而量是指线段、角、面积、时间等可以连续变动的东西。他用量这个概念建立了比和比例的理论，这样就把有公度比和无公度比（比值为无理数）都包括进去了。欧几里得《几何原本》中的第五卷《比理论》，被认为是根据欧多克索斯的成果而编写的，也是欧几里得几何的成就之一。
比号是一种数学符号。它是17世纪著名数学家莱布尼茨首先提出的。他认为两个量的比包含有除的意思，但又不能用“÷”表示。于是，他把除号中间的小短线去掉，用“：”表示比号。1760年，克莱罗出版的书中使用了这种符号，才予以推广并使用至今。
我国最早在《九章算术》中就有关于比例问题的记载，称为今有术。它的方法是利用已知的所有数、所有率和所求率求出所求数。它们之间的关系是所求数=（所有数×所求率）÷所有率。印度在7世纪时也有类似的关系式，并称为三率法。传人欧洲后，称为三数法则，或称黄金法则。在中国，“今有术”一词一直沿用到清代。由吴嘉善著、丁取忠校的《白芙堂算数丛书》（1887年）中阐述今有术说：“所有率，所求率者，举以为例之两数也……唯此两率者，为例已定，故今所设之数可以照以求，所以亦名比例式也。”
二．教学建议
(1)关注数学与生活的联系，追问数学本质
数学来源于生活，但数学学习不能止于生活。当我们将一个个学生熟悉的生活素材带进课堂时，我们要思考每一个事件蕴含的数学意义和学习价值，只有在它贴切地、精准地指向概念的本质，揭示概念的内涵，促进儿童的数学理解时，它才是有“意义”的。比的本质是什么？仅仅是表示“相除关系”吗？王永( 2009)教授认为：“比源于度量，度量解决了物体可度量的属性（长度、面积、体积、质量）的可比性，比却能够解决物体不可度量的属性（颜色、形状、质地等）的可比性。这就是比的本质。”也就是说，比更多是为了表征隐含于数量之中的、不可度量的事物属性。许卫兵老师在教授“比的认识”一课时，通过请学生配制蜂蜜茶的活动，用“蜂蜜”和“水”的比来比较几种不同配法的“甜度”。这和不少课堂只就一组数据（比如一个长方形的长和宽）直截了当地研究“相除”并产生比要深刻得多。
(2)处理好除法、分数和比之间的关系，明晰比与比例的区别
除法是一种运算，而运算必须有结果：商。因此，除法涉及被除数，除数、商三者，缺一不可。
“比”是两个数量之间的一种倍数状态，“比值”则是一个数，是比的前项除以比的后项的商。“比”可以脱离“比值”而单独存在。例如，某班男、女生的比是2：3，它可以计算比值：2÷3，也可以不计算。所以，“比”和“除法”在概念上是不同的。
但是，如果计算a：b的“比值”的话，那么比值就是两个数相除所得的商a÷b，其大小就是分数a/b。因此，商、比值、分数三位一体。除法的结果和比值的计算，都是用分数表示的。
从意义上看，比由两个数组成，表示两个数相除，反映前项、后项与比值间的关系；连比表示各部分数量与总数量之间的关系。比例由两个比用等号连成，是一个等式，四个数成比例表示四个数之间的一种关系。
(3)在正、反比例教学中适时渗透函数思想
正、反比例这部分教学内容肩负着帮助学生完成一次认识上飞跃的重要任务。学生将从大量对“常量”的认识经验中逐步过渡到认识“变量”，这是函数思想渗透的重要契机。函数有三种数学表示方法：表格、关系式和图像，这就是人们通常所说的函数的多重表示。多重表示的方法不仅可以加强概念的理解，也是解决问题的重要策略。图像对于理解变量之间的关系具有十分重要的意义，它是“看见”两种量之间的关系和变化情况的途径之一。在学习的过程中，重在让学生认识图像，感受图像的作用、价值和美。
正比例教学是从常量数学到变量数学学习的启蒙阶段；图像教学能够直观呈现两个变量之间的相依关系，使学生加深对正比例意义的理解。教学时，教师可以在学生根据表格、算式等熟悉的方式表示出正比例关系后，适时引出“图像”，把它作为新朋友介绍给大家。让学生通过初步的猜想和分析，对图像有初步的感知，为后面深入而细致的探究奠定基础。可见，多维教学目标的达成离不开教师对数学核心概念清晰的认识和准确的把握，这就需要教师对教学中每个内容有深入的分析，挖掘其背后的价值，为学生的长远发展奠定重要的基础。
四．推荐阅读
(1)《小学数学研究》（张奠宙等，高等教育出版社，2009）
该书第十二章的100个小学数学问题细致阐述了除法、分数与比的关系。
(2)《言近而指远 守约而施博》（许卫兵，《江苏教育》，2011年第7-8期）
该文深刻阐述了教者对比的本质的认识及把握。
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