河图与高等数学(我爱你的的数字意蕴)(1)

上一期我们讲了河图中数字的意象,其实就是不同的数字代表不同的方位而已,从这个角度来看河图,其实并不神秘。仅研究数字一至九本身没有太大意义。还需要研究进位制,以及研究它们之间的运算。进位制是表示更多数的理论基础,而运算则让数字插上了腾飞的翅膀!

河图与高等数学(我爱你的的数字意蕴)(2)

河图(图甲)中间的三个五中的两个黑五的和如果也看成数字十的话,那么中间那层就有了5和10两个数字,把天数1、3、7、9用按从小到大用带箭头的弧线连起来,再把地数2、4、6、8也按从小到大用带箭头的弧线连起来,就可以得到河图的简略数图,如图(乙)。

古人研究河图都是从图(甲)开始的,从现代人的眼光来看,确实别扭神秘了许多。因此古代真正能理解河图的人少之又少,普及起来非常困难。而观察图(乙),即使是小学生也可以说出几个数字规律来。现在很多讲河图的,大都讲得神神叨叨的,就像大仙儿!只讲其然,不讲其所以然。一副举世皆浊我独清的样子。让别人难以登堂入室。我的这个课程则不然,我讲,是从“河图自然生成”的角度去讲的,让你弄得明明白白!我这个《数学浮沉录》系列就是打算从远古数学开始讲起,一直讲到现代。用数学的眼光去看历史,用历史的眼光去看数学,尽可能做到通俗易懂,让大家学得幸福有趣!

一、河图中蕴含的进位制

观察河图(甲)。10个数分布成四个方环。最中间的方环中只有5;向外为两个5即10所处的方环;再向外是1、2、3、4所处的方环,其和为10;最外边是6、7、8、9所处的方环,其和为30.因此从内层到外层的数为5→10→10→30。这都是5的倍数,再结合柱数(生数)1、2、3、4,在此基础之上就是五进制的认识。如:十进制中的六在五进制中就是11,这个数的意思,就是“伸出一只手掌然后再伸出一个手指”。我猜在人们发明十进制之前,肯定最先采用是五进制,这与人们的一只手有五个手指相关,所以河图可以看成是人们的手掌所表示的五进制的计数模型,我们非常熟悉的五行学说与此有关,后面我还会详细讲到。

有了五进制的理解,就不难理解我们所熟悉的十进制了。随着表示数的增多,用五进制就不如十进制方便,五个五个数不如十个十个的数方便。于是又产生了利用河图中的"1、2、3、4、5、6、7、8、9"结合对10的理解创造出了十进制。

另外,利用"1、2、3、4、5、6、7、8"结合对9的理解也可创造出九进制。

如果仅从奇偶(或天地数)的角度看,那里面就仅有两个数,偶用0表示,奇用1表示的话,那就只有两个数0与1了,利用0与1来计数就是二进制。

所以说,河图可以看成是二进制、五进制、九进制、十进制的计数模型,当然也可以看成三进制等其他计数模型。

当然从十进制的角度看,用这么多进位制似乎没什么用处,好像是在故弄玄虚,仅仅是玩数字游戏一样,其实不然!

不同进位制在不同的场合有不同的用途。中国古代曾涉及到其他的进位制。例如二进制可与阴阳学说建立联系,《易经》的六十四卦,体现了二进制的思想,现代计算机的基本运算原理就是建立在二进制的基础之上的;西汉扬雄著有《太玄经》,《太玄经》是作者在精研《周易》的二进制后演绎而出的三进制 体系。充分地诠释了“天,地,人”的互动理念,是世界中最早的三进制体系著作;明代朱载堉在进行律管长度换算时实际上应用了九进制;清代数学家汪莱所著《叁两算经》,则是中国数学史上第一次系统探讨非十进制算术的论文,文中论述了二至九进制的理论和算法,列出了二至九进制的乘法表,并讨论了非十进制除法运算有否整数和有限小数商的情形。”

还需要深入探讨的是,进位制的实质就是“生活中数目太多,一个一个数不方便,那就一捆捆数”。如十进制,就是逐个数到10时,若大于等于10个的话,那就把10个打成一捆,放到十位上去看成1,然后在十位上再按照逐个数,十位上的一个一就是10,在十位上数到9后,若加1个,就是10个1.再把十位上的10个1打成一捆(实际是10个10)放到百位上,就是百位上的1,如此进行下去…。这就是十进制的理解。其他进位制道理相同。

按十进制的理解,河图表示的就不仅仅是这10个数,它表示的是所有的正整数,比如北方的1那个位置,除了表示1外,还表示11,21,31,41,…,这些数的公共特点都是除10余1.

仅仅用一个河图,就可以表示出所有的正整数!这是用有限表示无限的最典型实例,是远古先人用有限的资源驾驭无限,征服这个未知世界的智慧表现,咱们不得不被远古先人的智慧所折服!

二、对河图中纵横的理解

河图中以数组(5,10)为中心,(1,6)在北,(2,7)在南,(8,3)在东,(4,9)在西,这意味着具备水平与垂直的坐标观点,利用数对去刻画方位,这是现代解析几何的基本思想,传说解析几何是由笛卡尔观察屋顶上的蜘蛛网受到启发创造的,而河图中的解析思想要比笛卡尔早几千年!所以中国人也把河图称为纵横图,若东西为纵则南北就为横,若东西为横则南北就为纵。这里的四组有序数对中国人称为纵横数,纵横数不就是今天的坐标概念吗!河图可看作表示坐标系概念的最早的模型。由河图引发的纵横观一直追随着历史前进的脚步,经常听到“纵横天下”中的纵横就是河图中表达方位的意思。前面我们称“伏羲得到河图后,骑龙马,携河图,得以纵横天下”就是这个意思。

三、让河图中数产生运算关联

(1)内外层奇数相加:1 9=10,3 7=10,即逆时针方向相邻的内外层奇数相加的和数都等于 10 。竖向奇数相加:7 1=8,横向奇数相加: 3 9=12.

(2)内外层偶数相加:4 6=10,2 8=10,即顺时针方向相邻的内外层偶数相加的和数也都等于 10。坚向偶数相加:2 6=8,横向偶数相加:5 4=12.

(3)在1、9,3、7,4、6,2、8四组数中, 其组内的两个数之间互为 “和为10的互补数”。为:1 与 9 互补;3 与 7 互补;4 与 6 互补;2 与 8 互补。也就是说, “河图” 中, 每两数相加后, 和数等于 10 的两数互为 “互补数”。

(4)内外层奇数相加:1 7=8,3 9=12.即内外层奇数相加的结果, 竖向二者相加为8 , 横向二者相加为12。

(5)内外层偶数相加:4 8=12;2 6=8.内外层偶数相加的结果, 是横向二者相加为12 , 竖向二者相加为 8 。

由(1)(2)(4)(5)四种数的计算结果看, 无论 “河图” 内外层的奇数还是偶数相加, 竖向二者的和数都是 8 , 而横向二者的和数都是 12 。三、让河图中数的运算与方向的关联

(一)同一方位上的两数之和

(1) 1(北方) 6(北方)=7(南方),为奇数(阳数)

(2) 2(南) 7(南)=9(西) ,为奇数(阳数)

(3)3(东方) 8(东)=11(按十进制,除10余1,为北) ,为奇数(阳数) (4)4(西) 9(西)=13(按十进制,除10余3,为东) ,为奇数(阳数)

从(1)(2)(3)(4),可以看出:生数 成数 奇数。在四个方向上, 各方的 “生数” 加 “成数” 的和数, 依次分别是 7、 9、11、13, 其各方向上的和数结果, 都是 “奇数” (单数、阳数),北 北=南,南 南=西,东 东=北,西 西=东。

(5)中间方位:5 10=15.( 除10余5,为中),中 中=中。

总结以上计算结果可知, “河图” 各方位上都有两个数,一个为奇数(阳数),一个偶数(阴数) 它们的和都是奇数(阳数)。

(二)同一方向上的 “生数”和 “成数”, 都同时加上一个 5。

比如,“河图” 东方的 “生数” 3 与 “成数” 8, 同时加上一个 5 。3(东) 5=8,除10余8,8还是是东方。8(东) 5=13,除10余3,也还在东方.这说明东方的3、8各加5以后,所得数还是在东方,只不过交换了位置。

同理其他方向上也是这样。如4(西) 5=9(西),9(西) 5=14(14除10余4,还在西,在4的位置)。

即同一方向上的 “生数”和 “成数”, 都同时加上一个 5,得到的数还是这个方向上的数,只不过位置互换了。

(三)同一方位上的“生数”和 “成数”都同时相加非5的数

(1)北方的1与6 , 都同时加上一个3 。即为:1(北) 3=4(西);6(北) 3=9(北)

也就是说,北方两数加3,得到的是西方相对应的两数,内层对内层,外层对外层,或说生数对生数,成数对成数。

同理我们可以得到:

(2)东方的 “生数” 3 与 “成数” 8 , 都同时加上一个 7 。得到的是 “河 图” 中间10与 15,15被10除余5,所以15仍然在内层。

(3)东方的 “生数” 3 与 “成数” 8 , 都同时加上一个 3 。得到的是 “河图”北方相对的 “内层数” 6 和 “外层数” 11(11被10除余1)。

(4)东方的 “生数” 3 与 “成数” 8 , 都同时加上一个 8 。得到的是 “河图”北方相对的 “内层数” 11 和 “外层数” 16(16被10除余6) 。

(5)西方的 “生数” 4 与 “成数” 9 , 都同时加上一个 19 。得到的是 “河图”东方相对的“内层数” 23 (23被10除余3)和 “外层数” 28 (28被10除余8)。

其他各方位数与某一数的和数的结果, 依此类推。

(四)横向(或纵向)上的两个成数相加与两个生数相加的关系。

如,东西(不妨先称为横)方向上的成数8(东)与成数9(西)相加,8 9=17,除10余7,等于东西方向上两个生数3(东)与4(西)相加相加。

南北方向上也是这样。

即横向(或纵向)上的两个成数相加都大于10,被10除所得余数,与横向(或纵向)上两个生数相加的和相等。

(四) 内层生数”加10 。

如,生数 4(西) , 加10 。4(西) 10=14,被10除余4,所以14还在西方,那么从大小来看,4与14之间隔了6.

即内层生数加中 10 。等于同方位外层相隔的成数。其他方向也是这样。

以上我们讲了河图数字的部分意蕴,事实上,远远不止这些!这些知识非常重要,是进一步理解其他意象的基础,也是周易入门的基础。请看下一期,河图与五行的关联(数学浮沉录8)

本人致力于以新数学自学辅导教学法的理念进行小初高一体化课程建设,除了小初高一体化数学课程在公众号(龙新数学:zxfd66)陆续分布外。与之相匹配的是这个《数学浮沉录》系列,为孩子们理解数学,扩大数学视野打开另一扇窗。也为弘扬数学文化尽微薄之力。

上面几期,欢迎阅览。

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