基本推理的基础---推理的对象:命题(1)

数学命题的核心是叙述研究对象之间的关系,即把关系概念应用于对象概念。为了今后讨论问题的方便,我们先给出一些符号来表示关系,主要是“属于”关系,如果反过来说,就是“包含”关系。我们用大写字母A,B,C表示集合,用小写字母x,y,z表示集合中

的元素。如果x属于集合A,则表示为x∈A。进一步,用Ac表示不属于集合A的所有元素构成的集合,这样符号x∈Ac就表示x不属于集合A,通常称Ac为集合A的补集。进一步,我们用大写希腊字母Ω,Γ等表示类,这是一个比集合更为广义的范畴,在类中包含的可以是元素,也可以是集合。如果元素x或者集合A属于类Ω,我们称Ω包含x或者A,表示为x∈Ω或者A⊆Ω。可以看到,符号∈表示元素与集合或者元素与类之间的关系;符号⊆表示集合与集合或者集合与类之间的关系,但这种表示不是本质的,因为在数学的推理过程中,也可以把一个元素看做集合,因此这种表示只是一种习惯而已。

在这里,我们特别强调,包含关系A⊆Ω可以细分两种情况:

真包含关系:如果元素x∈A必然有x∈Ω;并且,至少存在一个元素y∈Ω,使得y∈Ac

等价关系:如果元素x∈A必然有x∈Ω;反之,如果元素x∈Ω必然有x∈A。 (1)

为了讨论问题的方便,有时候我们用A⊆B表示集合之间的真包含关系,用A≡B表示集合之间的等价关系。关于等价关系,也可以认为:如果A⊆B并且B⊆A,那么A≡B。根据这个原理,可以得到关于补集的一个重要性质:(AcC=A。

有了这些符号,我们就可以讨论命题了。在一般意义的意义上,命题是一种能够进行肯定或者否定判断的语句。比如

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都可以构成命题,虽然其中有些语句是模糊的,甚至是很难判断的。那些很难判断的语句,在我们的日常生活中使用是可以的,但在数学的推理过程中就不合适了,我们已经说过,在数学推理过程中的命题必须是简捷准确、不能引发歧义的语句。因此我想,在数学基本推理中的命题大概只有两种形式,一种命题的形式是:

数是可以比较大小的。 (2)

我们称这种形式的命题为正命题,另一种命题的形式是:

这个三角形不是直角三角形。 (3)

我们称这种形式的命题为否命题。因为对于每种命题都存在两种可能判断,即“肯定”判断或者“否定”判断,因此,对数学中的命题只存在四种可能结果:正正、正否、否正、否否,其中前面的“正”或者“否”表示判断的结果,后面的“正”或者“否”表示命题本身的

属性。

所谓“判断”是指通过经验直觉或者推理分析得到肯定或者否定结论的思维形态。关于如何进行数学的判断,我们将在以后几讲中详细讨论。

下面我们分析数学命题的构成。由(2)和(3)可以看到,每一个数学命题都被“是”或者“不是”这样的系词分为两个部分,为了讨论问题方便,我们称这样的语句为系词结构,称命题的前半部分为所指项,后半部分为命题项,这相当于汉语语法中的主词和谓词。为了数学推理的确定性,我们规定:数学命题中的所指项必须定义明确,这也意味着,所指相的述说必须可以表示为一个元素或者一个集合,我们用A来表示这个元素或者集合,比如在(2)式中A表示“数”的集合,在(3)中A表示“这个三角形”的元素。而命题中的命题项就可以比较复杂了,可以是比较模糊的概念,也可以是一些性质,我们用大写字母P表示,比如

(2)式中P表示“可以比较大小”这个比较模糊的性质,在(3)式中P表示“直角三角形”这个明确定义了的集合。进一步,我们用符号→表示“是”,用符号~表示“不是”。这样,对于命题就可以得到下面的表达:

A→P表示正命题,即A中的元素都具有性质P;

A~P表示否命题,即A中的元素都不具有性质P。 (4)

因为命题项比较复杂,我们用Ω来表示P的述说所构成的类,这样,从集合包含的角度分析,可以对命题进行下面的表达:

A⊆Ω表示正命题,即A中的元素都属于Ω;

A⊆ΩC表示否命题,即A中的元素都不属于Ω。 (5)

所以,数学命题就可以归结为“属于”关系,或者“包含”关系。须要注意的是,按照我们的规定,数学命题中的所指项必须是元素或者是集合,命题项可以是集合也可以是类。

我们曾经在《公理体系的数学发展---公理体系的合理性》中讨论了哥德尔那个划时代的定理,因为这个定理使得希尔伯特希望“证明公理体系完备性”这个构想陷入僵局,在讨论的过程中,我们曾经断定有一个命题不能成为数学命题,现在分析这个命题为什么不能成为数学命题。哥德尔利用被称为哥德尔数的那些算术术语,构造了一个语句G,这个语句指派的哥德尔数是n,而这个语句G

是:n在这个系统中是不可证的。也就是说,所指项G对应的语句是:我是不可证明的。现在,需要对这个语句进行判断,从前后逻辑考虑,针对这个语句,下面两个命题之一成立:

命题1:G是真的,但在这个系统中不可证

命题2:G是假的,但在这个系统中可以证 (6)

我们在那一节的讨论中曾经说过,其中的命题2是不成立的,这样,只能是命题1成立,而命题1恰恰就是哥德尔希望得到的结论。那么,为什么命题2不能成为数学命题呢?

我们首先注意,如果用A和B表示两个集合,那么,在两个集合的包含关系与两个集合补集的包含之间存在下面的关系:

如果A⊆B,则必然有BC⊆AC (7)

这个结果是容易证明的,因为从条件知道,不属于集合B的必然不属于集合A,这样就直接得到了结论。

下面我们来分析哥德尔的命题。在(6)式中,我们用Ω表示命题项“在这个系统中可证”的那些东西所组成的类,即表示命题中的命题项。那么,命题2应当表示为Gc⊆Ω,然后再由(7)可以得到Ωc⊆G,这与命题表达式(5)中的第二式是相反的,这就说明了命题2不能构成数学命题.由此可以知道,在数学的论证过程中以及在数学的教学过程中,必须清楚怎样的语句才可能构成数学命题,其中(5)式是一个供我们参考的简捷模式。很显然,(6)式中的命题1是可以构成数学命题的,因为可以表示为G⊆Ωc,这恰为(5)中的第二式.

对于一个数学命题,我们曾经谈道:所指项必须是定义非常明确的一个元素或者一个集合,因此,定义是非常重要的。我们甚至可以对哥德尔提出的命题进一步提出质疑,命题1中的所指项“n在这个系统中是不可证的”或者“我是不可证明的”中的所指项能够算是定义明确吗?接下来,我们来讨论数学定义的构成。