"回文"是指正读反读都能读通的句子,它是古今中外都有的一种修辞方式和文字游戏,如"我为人人,人人为我"等。在数学中也有这样一类数字有这样的特征,成为回文数(palindrome number)。

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1. 回文数

一个自然数,如果从左向右看和从右向左看数字都一样,换句话说,就是"数字排列左右对称",就把它叫做"回文数"。比如121、5335、6084806都是回文数。当然,由同一个数字组成的数,如11,999也是回文数。回文数还要一个比较文艺的名字。巴克敏斯特·福乐在其著作《协同学》(Synergetics)中把回文数也叫做沙拉扎数(Scheherazade Numbers),沙拉扎是《一千零一夜》中那位讲故事的王妃、即宰相的女儿的名字。

有人发现:如果给一个自然数,加上它的倒序数(就是把它的数字顺序倒过来所组成的数),再对所得的和重复这个步骤,一般说来,经过有限次计算,就会得到一个回文数。

比如,84+48=132,132+231=363,363就是个回文数。

再比如,95+59=154,154+451=605,605+506=1111,1111就是个回文数。

有时候可能需要重复的步骤比较多一些。

比如,97+79=176,176+671=847,847+748=1595,1595+5951=7546,7546+6457=14003,14003+30041=44044,44044就是个回文数。

再比如,198+891=1089,1089+9801=10890,10890+09801=20691,20691+19602=40293,40293+39204=79497,79497就是个回文数。

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人们对大量的自然数进行了这样的计算,都得到了回文数。可是,偏偏有一个数很不一般,这个数就是196。让我们试试看:

196+691=887,887+788=1675,1675+5761=7436,7436+6347=13783,13783+38731=52514,52514+41525=94039,94039+93049=187088,187088+880781=1067869,1067869+9687601=10755470,10755470+07455701=18211171,上述步骤重复进行了10次,还没有结果,果然非同寻常。其实,早就有人用电脑把这个步骤重复进行了数十万次,也没有得到回文数,并且,也没有发现循环的迹象,所以还无法判断继续进行下去,究竟能不能得到一个回文数。

196这个数不算大,看起来也没有什么特殊的地方,可是求回文数的方法,遇见它竟然不灵了。真应了那句俗话:大江大海都过了,却在小河沟里翻了船。要不怎么会说,自然数是个充满奥秘的世界呢!

思考问题:两位数中只有9个回文数,它们是11,22,33,44,55,66,77,88,99.三位数中的回文数,由前两位数确定,共有9x10=90个,它们是111,121,131,…,212,222,…,989,999.四位数的回文数共有9x10=90个。

五位数的回文数会有几个呢?聪明的小朋友用你学过的排列知识来算一算吧!

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2. 回文数分类

回文数有两种:同数回文数和对称回文数,兹仅以对称回文数作例。

对称回文数:这一类的回文数都有对称的特点,顺读倒读数字次序不变,如:101、12321、32123等。此类回文数的形式多位数的乘法里面的"镜反数",又叫对称数;有以下几种。

第一种形式:以1组成的系列数,其将平方得到回文数,如:

11(平方)=121,

111(平方)=12321,

1111(平方)=1234321,

……………………

111111111(平方)=12345678987654321,

用立方也有类似情况:11(立方)=1331,111(立方)=1367631。

第二种形式:以9做被乘数,1089做乘数,得9801。得数是乘数的回文数。如果在中间填n个9,会得出n个得数是乘数的回文数。

9x1089=9801,

9x10989=98901,

9x109989=989901,

9x1099989=9899901,

…………………………

9x109999999989=989999999901

注意到了,上面的粗体数字和等号两边的粗体数字,他们是对称的。

特殊地,回文素数:2, 3, 5, 7, 11, 101, 131, 151,181,191,…

回文完全平方数:0, 1, 4, 9, 121, 484, 676, 10201, 12321,…

既是素数又是回文数的数,比如11,101,757等等,除了11以外,其余回文素数的位数都是奇数。虽然,数学家们相信回文素数有无穷多个,但这也是尚无法证明的猜想。人们借助电子计算机发现,在完全平方数、完全立方数和完全四次方数中的回文数,其比例要比一般自然数中回文数所占的比例大得多,如 121=11²,14641=121²,40804=202²,343=7³,1331=11³,1030301=101³,等都是回文数。

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回文素数是否有无穷多个,也是个尚未解决的公开问题。根据在线整数序列百科全书OEIS编号A050251发布的最新结果,已经知道小于1023的回文素数个数有22170468927个。目前已知的最大回文素数是2014年11月发现的10474500 999 · 10237249 1,这是一个474501位数。

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Clifford A. Pickover发现了回文素数1000000000000066600000000000001,中间三个数字是666,两边各有13个0。在英美文化中,666被认为是野兽数,13代表霉运,这个数有31位,又是13的倒写。于是Pickover称这个回文素数为贝尔菲戈尔素数(Belphegor's prime),贝尔菲戈尔是传说中的恶魔。

在数量众多的回文素数中隐藏着一些有趣的数。G. L. Honaker, Jr.构造出一个金字塔形式的回文素数列表:

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思考问题:

(1).任取一个正整数,与它的倒序数相加,若其和不是回文数,再与其倒序数相加,重复这一步骤,一直到获得回文数为止。例如:68 ,

68 86=154

154 451=605,

605 506=1111,

于是有数学家提出一个猜想:不论开始采用什么整数,在经过有限次倒序相加步骤后,都会得到一个回文数。至今还不知道这个猜想是对还是错的。

(2).有一些自然数,从左向右读与从右向左读是完全一样的,我们将这样的数称作“回文数”。比如2332,181,77都是回文数。有些六位回文数除以95的商也是回文数,符合要求的六位数有几个,分别是多少?

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3. 特殊的回文数--橄榄数

12345678987654321这个数有这样一个特点,各数位上的数字从左到右逐渐增大(由1到9,是连续自然数)到蹭数9时,达到顶峰,以后又逐渐减小(由9到1),它活像一只橄榄,我们姑且称它为橄榄数(是一种特殊的回文数)。有趣的是它还是一个完全平方数呢?你知道它是哪个数的平方吗(学过开方的同学,也希望你根据这个数的特点,分析出这个数来)?

12345654321也是一个橄榄数,它是哪个数的平方呢?告诉你这个数还能被3、7、11、13、37整除呢?

解:因为1=1,2=1+1,3=1+1+1,4=1+1+1+1,5=1+1+1+1+1,6=1+1+1+1+1+1,7=1+1+1+1+1+1+1,8=1+1+1+1+1+1+1+1,9=1+1+1+1+1+1+1+1+1。

所以12345678987654321可以分成下面九项的和,即:

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写成上面形式后,大家可能不再感到陌生了,它是111111111×111111111

直式计算的一部分,所以12345678987654321=1111111112。

同样可以求出:121=112,12321=1112,1234321=11112,123454321=111112,

12345654321=1111112,1234567654321=11111112,123456787654321=111111112。

从上面各橄榄数中,可以发现橄榄数中间的哪个数与和它相等的两次幂中底数的1的个数相等,即:

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(其中n=1,2,…,9)。由于12345654321=1111112,而111111能被3,7,11,13,37整除,所以12345654321也能被3,7,11,13,37整除,并且有12345654321=32×72×112×132×372。

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