在众多几何图形中,三角形是最基本图形,直角三角形是其中最特殊的一种。

那么什么是解直角三角形呢?

在直角三角形中,除直角外,一共有5个元素,即3条边和2个锐角,由直角三角形中除直角外的已知元素,求出所有未知元素的过程,叫做解直角三角形。

数学解直角三角形应用的教学(妙手解三角中考数学精讲)(1)

在解直角三角形的过程中,我们可以借助边和角之间的关系来解决问题。

那么直角三角形的边角之间有什么样的关系呢?

首先,直角三角形三边之间的关系:直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方,我们也称之为勾股定理。

其次,直角三角形的锐角之和为90°,即∠A ∠B=90°

最后,边角之间的关系:

数学解直角三角形应用的教学(妙手解三角中考数学精讲)(2)

接下来我们利用这三个关系来解决下面的问题:

例1:如图,AD、BE分别是三角形ABC中BC、AC边上的高,AD=4,AC=6,则∠EBC的正弦值是?

数学解直角三角形应用的教学(妙手解三角中考数学精讲)(3)

解析:

数学解直角三角形应用的教学(妙手解三角中考数学精讲)(4)

根据这道题目我们发现,当题目中所给角的三角函数不好直接求出来的时候,我们可以找出与这个角相等的角,进行替换,会使运算更为简便。

例2:如图,在三角形ABC中,CD为中线,B的正切值为二分之一,A的正弦值为五分之三,CA=10,求∠ADC的余弦值。

数学解直角三角形应用的教学(妙手解三角中考数学精讲)(5)

解析:

数学解直角三角形应用的教学(妙手解三角中考数学精讲)(6)

数学解直角三角形应用的教学(妙手解三角中考数学精讲)(7)

例3:如图,在直角三角形ABC中,∠C=90°,点D在AC边上。若DB=6,AD=CD的一半。∠CBD的正弦值为三分之二,求AD的长和A的正切值。

数学解直角三角形应用的教学(妙手解三角中考数学精讲)(8)

解析:

数学解直角三角形应用的教学(妙手解三角中考数学精讲)(9)

例4:如图,在直角三角形ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D。已知AC为根号5,BC=2,那么∠ACD的正弦值为?

数学解直角三角形应用的教学(妙手解三角中考数学精讲)(10)

解析:

这道题目可以用两种方法去做,但是哪一种用起来更简便呢?

方法一:

数学解直角三角形应用的教学(妙手解三角中考数学精讲)(11)

方法二:

数学解直角三角形应用的教学(妙手解三角中考数学精讲)(12)

数学解直角三角形应用的教学(妙手解三角中考数学精讲)(13)

根据这道题目我们发现,方法不同,时间上也会有很大差距。第二种方法在很大程度上节省了我们的时间。相比于方法二,第一种方法运算较为复杂且容易出错。

今天的知识点就到这里了,你都学会了吗?

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