先来看个例子，下面的公式是为了适应相关应用而特意采用的表达形式，其中要求解的一元函数是x(t)，β（阻尼系数）和ω₀（固有角频率）是常数，f(t)是关于t的已知函数，今天小编就来说说关于二阶线性常微分方程的特征方程?下面更多详细答案一起来看看吧!
二阶线性常微分方程的特征方程
先来看个例子，下面的公式是为了适应相关应用而特意采用的表达形式，其中要求解的一元函数是x(t)，β（阻尼系数）和ω₀（固有角频率）是常数，f(t)是关于t的已知函数。
(d²/dt²)x 2β(d/dt)x ω₀²x = f(t)
如果f(t)≡0，则此方程为齐次方程。显然，如果将(d²/dt²) 2β(d/dt) ω₀² = A看成是一个算符（或算子），则此是一个线性算符。采用算符表示相应的齐次方程（f(t)≡0）如下
A x = 0
如果x₁(t)和x₂(t)是此齐次方程的解，则其线性组合k₁ x₁(t) k₂ x₂(t)也必然是其解，其中k₁和k₂为任意常数。
一）齐次方程 A x = 0 的求解
求解这个齐次方程的关键在于确定其解的大致形式。我们知道，指数函数e^(λt)的n阶导数是
(dⁿ/dtⁿ)e^(λt) = λⁿe^(λt)
如果假设上述相关齐次方程的解具有形式 k e^(λt)，其中k和λ是常数，代入方程得
A k e^(λt) = k(λ² 2βλ ω₀²)e^(λt) = 0
显然e^(λt) ≠ 0，k ≠ 0（若k=0则x(t)≡0，这是个平凡解），由此得方程
(λ² 2βλ ω₀²) = 0
这个是齐次方程 A x = 0 的特征方程。由此特征方程可解得两个根λ₁和λ₂，若此根非重（即λ₁≠λ₂）则代入得通解
k₁ e^(λ₁t) k₂ e^(λ₂t)
其中 k₁ 和 k₂ 为待定常数。
如果特征方程的根是重根，即λ₁=λ₂=λ=-β，则假设齐次方程的解具有如下形式
k₂te^(λt)
代入方程得
k₂((λ² 2βλ ω₀²)t 2β 2λ)e^(λt) = 0
显然λ² 2βλ ω₀²=0且2β 2λ=0，即k₂te^(λt)为方程的解。再加上解k₁e^(λ₁t)得重根下的通解
(k₁ k₂t)e^(λt)
现在考虑特征方程的两个复数根的情况，即
λ=(-β±j√(ω₀²-β²))
代入通解k₁e^(λ₁t) k₂e^(λ₂t)得
e^(-βt)(k₁ e^( jωt) k₂ e^(-jωt))
其中ω=√(ω₀²-β²)
实际解为其实部，即
x(t) = e^(-βt)(k₁ cos(ωt) k₂ cos(ωt))
总结上述解，可归纳为三种情况
1）β>ω₀
此为过阻尼，无振荡。
2）β=ω₀
此为临界阻尼，无振荡。
3）β<ω₀
此为欠阻尼，振荡。
此外，还有几个需要关注的参数
1）ω=√(ω₀²-β²))
振荡角频率
2）τ=1/(2β)
能量衰减的时间常数
3）Q=ωτ
品质因数
二）非齐次方程 A x = f₀cos(ωt) 的解
将方程表示成复数形式，即
A x = f₀e^(jωt)
假设此方程有如下形式的解
K e^(jωt)
其中K是个复常数，代入方程得
K(ω₀² - ω² j2βω)e^(jωt) = f₀e^(jωt)
解得K为
K = f₀/(ω₀² - ω² j2βω)
即得特解
[f₀/(ω₀² - ω² j2βω)]e^(jωt)
再加上齐次方程的通解，便得到此非齐次方程的通解
[f₀/(ω₀² - ω² j2βω)]e^(jωt) k₁ e^(λ₁t) k₂ e^(λ₂t)
或
[f₀/(ω₀² - ω² j2βω)]e^(jωt) (k₁ k₂t)e^(λt)
三）应用举例
前面对二阶常系数线性齐次方程和f(t)=f₀cos(ωt)的特定非齐次方程给出了求解过程，下面具体分析几个应用
1）弹簧阻尼振动系统
此系统遵循三个规律
a）牛顿第二定律——F = m a = m (d²/dt²)x
b）胡克定律——F = - k x
c）摩擦力——F = - γ v = - γ (d/dt)x
按力的叠加原理得方程
(d²/dt²)x (γ/m)(d/dt)x k/m = f(t)
其中f(t)为外加力。
对比方程(d²/dt²)x 2β(d/dt)x ω₀²x = f(t)，可知
β = γ/(2m)
ω₀² = k/m
特别的，若f(t)=f₀cos(ωt)（受迫振动）时，其稳态振幅是
f₀/√((ω₀² - ω²)² 4β²ω²)
=f₀/√(((k/m)² - ω²)² (γ/m)²ω²)
当ω=√(ω₀²-2β²)=√(k/m-(γ/m)²/2)时（即共振），具有最大振幅
f₀/(2β√(ω₀²-β²))
=f₀/((γ/m)√(k/m-(γ/m)²/4))
显见，β较之ω₀越小，则ω越接近于ω₀，而此时振幅越大。
2）具有激励源f(x)=U₀sin(ωt)的RLC串联电路
显然，其KVL方程为
R i (1/C)∫i dt L(d/dt)i = U₀sin(ωt)
两边求导数得
(d²/dt²)i (R/L)(d/dt)i i/(LC) = (ωU₀/L)cos(ωt)
对比方程(d²/dt²)i 2β(d/dt)i ω₀²i = f₀cos(ωt)，有
β = R/(2L)
ω₀² = 1/(LC)
f₀ = (ωU₀/L)
类似可得到各种情况下的解，在此略。
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