这是2022年高考数学全国乙卷一道关于抛物线的选择题,是全卷的第5道选择题。题目很简单。但是这个位置上的题目简单点是很正常的。关键是要用比较适合的方法,以最快的速度、最准确地解决它。因此老黄下面提供了三种解法。看看哪一种你更喜欢。

设F为抛物线C:y^2=4x的焦点,点A在C上,点B(3,0),若|AF|=|BF|,则|AB|=

A. 2; B. 2根号2; C. 3; D. 3根号2

方法1:首先要明确焦点的坐标是F(1,0),然后记A点的坐标为(a^2/4,a).

由|AF|=|BF|=2,就有(a^2/4-1)^2 a^2=4,这个方程看似四次方程,其实只是二次方程,是关于a^2的二次方程,化为一般式是:a^4/16 a^2/2-3=0,或a^4 8a^2-48=0. 就可以解得a^2=4或a^2=-12(舍去).

从而得到A的两个坐标,分别是(1,2)和(1,-2). 用两点的距离公式就可以求得|AB|=根号(2^2 2^2)=2根号2. 选B。这种方法当然不是最简便的,但是它胜在直接,不需要过多动脑筋,基础知识掌握好,就能解决了!

方法2:可以想象到,点A是以F为圆心,BF为半径的圆,与抛物线的交点,这样的交点是有两个的。因为|BF|=2, F(1,0),所以这个圆的标准方程是:(x-1)^2 y^2=4.

可以列得圆和抛物线的交点方程为:(x-1)^2 4x 4=0,化为一般式:x^2 2x-3=0.求得: x=1或x=-3(舍去). x不可能是负数.

当x=1时,求得y=2或-2,也可以得到A的两个坐标,分别是(1,2)和(1,-2). 与方法1同理求得|AB|=2倍根号2.

这种方法,或许比方法1简便了一点点,但其实也没有那么简便,还有点伤脑筋。

抛物线的题型讲解(抛物线的通径是什么)(1)

方法3:需要涉及到抛物线的一个相关概念,叫做“通径”。就是过焦点与对称轴垂直的直线,与抛物线两个交点间的距离。通径的长是有公式的,老黄现场推导一下。由于抛物线y^2=2px的焦点坐标是(p/2,0),因此,通径的两个端点的纵坐标分别是y1=p,y2=-p. 所以通径的长为|y1-y2|=2p. 而这里的p=2,所以通径的长等于4. 其实通径长的公式挺好记的,就是y^2=2px中的系数“2p”.

老黄以前分析过抛物线开口大小的问题。还在想为什么没有表示抛物线开口大小的量或公式呢。原来只是老黄孤陋寡闻,其实是有的,这个量就是通径。对于抛物线的一般式y=ax^2 bx c, 通径的长度就是|1/a|.

那有了这个通径的长,有什么用呢?结合下面的图像,你就可以轻松地发现,AB就是等腰直角三角形ABF的斜边,因此,|AB|=根号2 BF=2根号2.

抛物线的题型讲解(抛物线的通径是什么)(2)

方法3当然是最简便的。只要掌握了相关知识,也没有那么伤脑筋。不要被老黄上面啰里啰嗦讲了一大堆给迷惑了,那只是老黄自己啥也不懂造成的。

这也给了我们一个启发:平时积累的知识量大了,高考考场上,就会有更多简便的方法可供选择。老铁,您怎么看呢?

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