数学世界观（上）
上一篇我和大家分析了几个关于奥数的常见误区，那奥数实际上在教给我们什么呢？让我们把话题扩大一点，先把数学学习涉及的框架搭起来。
从我的理解来看，数学学习分为四个层面，借用道家学说的理论，即“道、法、术、器”。
数学之“道”，即数学思维。
数学思维不是一种知识，而是一种能力，或者说的更缥缈一点，是一种感觉。但是它又是搭建数学世界最重要的根基，可以说它不存在，但是又无处不在。
就好比学音乐的人需要的乐感，往往很难形成一门课程进行培养，但是偏偏又是学习音乐最重要的，甚至是决定成就高低的一种能力。有的人天生就有很强的乐感，但是一般人也可以通过长期接触音乐进行培养。数学思维亦然。
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这项能力在高中数学立体几何题中被极大地运用，很多被虐得很惨的高中生，都是由于这项基本能力没有掌握。
另外，空间抽象思维在认路方面也是起到非常重要的作用。有的人认路是采用平面记忆的方式，也就是将一条路线在哪里拐弯，拐弯处的景物长什么样子记下来；有的则是采用立体记忆的方式，将自己理解为在地图上行走的一个点，最后能画出一张平面地图上的线路。后者的好处是最终在脑海搭出一个立体地图，对于里面新的路线也能快速掌握，随时切换，这就是空间抽象思维在起作用。
所谓“道可道，非常道”，上面讲的这些数学思维，本身的含义是比较广和比较飘渺的，举的这些例子只是试图盲人摸象一样抓取其中一个点来展现而已。
数学思维本身不是数学的一个知识点，但又贯穿在数学学习中的方方面面，就像是数学这棵大树的庞大根系，虽然看不见，却给每一片枝叶输送赖以为生的养分。
数学之“法”，即数学理论，包括数学概念、定理。
数学概念的学习是呈明显的螺旋上升方式进行的。例如小学学习数字，先学0-9，然后拓展到两位数、三位数；高年级学小数、分数，“数”的概念就被扩大了；高中学习了无理数，这时候实数轴就被填满了；大学还会虚数，然后复平面也被填满了，发现“数”不仅是代数概念，还可以跟几何打通，最后有一种“恍然大悟”的感觉。每次学习新的概念，都是对旧概念的“传承”和“创新”，特别讲究融会贯通。
另外，有时候新的知识不仅是对旧概念的扩充，还会进行重构。
很多人很好奇，大学数学系都学什么啊，高中数学已经难得不要不要的，大学的画风是不是都是这样的？
恰恰相反，数学系学习的数学，有时候简单得让人吃惊——不是难度上的简单，而是形式上的简单。
以我们本科数学基础课《数学分析》为例，课本（《数学分析》，A.Zorich，第二版）的第一章标题是——基本概念（集合、函数等），第二章标题是——实数。是不是感觉高一就学完了？
但是书里将实数和加、乘法运算从另外一个重新进行了定义，运用了从一般到特殊的演绎方法——现在我们要找一个同时满足加法公理、乘法公理、序公理和完备公理的集，满足这些条件的集可能有很多个，我们常用的实数集刚好符合要求，里面的0、1、加法、乘法刚好能用上，挺好，就你吧。
就好比我们平时描述地球，会说上面有山有水，住着人和动植物。数学分析会这样去描述：为了找一个能产生生命的星球，星球温度要在2℃以上，氧气含量在28%以上，有液态水，引力适中巴拉巴拉。定义完了以后，在宇宙搜一圈发现地球刚好满足，挺好，以后就你了。
这并不是数学家们的矫情。
虽然实数是我们天天在用的概念，但是要给它作一个定义，其实是很难的。这本书一耙刨到这个概念的根子里面去，顺带挖出实数一些有用的性质，在此之上再衍生出其他变化万千的性质、定理等等，最后形成了丰富多彩的代数世界。
这里可以看出数学非常重视概念的定义，同时也看出了它的严谨性，那就是定义之外别无它物。类似的还有欧几里得几何理论体系，用一些基本概念和五条公理推导出我们常见的整个几何体系。更有意思的是，这些公理作为整个体系的基石，还可以挪动，例如将第五公理改写，可以搭建出黎曼几何、罗氏几何等完全不同样子的大厦！
所以，学数学的人在争辩问题的时候，常常会说“这要看你怎么定义XXX”，因为在他们眼里，没有清晰的定义，整个讨论就无从谈起了。
数学概念和由此推导而成的定理，是使用者从无到有的创造，然后又利用这些创造去约束其他的万事万物，类似于道家中“法”的概念。
这些数学理论构成了数学大树的枝干。所有细枝末叶，都是从枝干延伸出去的。枝干一圈一圈地增长，支撑着树冠长得越来越繁茂。
（未完待续）
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