经纬线
关于用算术方法研究图形的历史可以追溯到古埃及，古巴比伦以及古代中国。因为日常生活和生产实践的需要，人们从土地测量开始，后来又发明了面积，体积的计算方法，发明了研究三角形边角关系的有力工具三角函数。特别是在这个过程中，人们研究了两个重要的问题，这对后来坐标系的建立起到了至关重要的作用：一个是发明了地球表面上和空间星座中的经纬线，用经纬线来确定点的位置，另一个是研究了平面上满足某些条件的点的运动轨迹。
古巴比伦人和古代中国人都利用了数字12发明了被称为黄道的坐标系，用来确定夜空中星座的位置。在地球表面，据说是亚里士多德第一个发明了确定位置的办法，他发现越接近赤道越热，越靠近北极越冷，于是他建议在地球上按南北方位划分五个气候区域，并称这样划分的线为纬线。后来，在亚历山大图书馆从事研究的托勒密在他的8卷本的《地理学》中提出，绘制地图不仅需要维度也需要经度，为了把地球的位置平面化，他设计了扇形的经纬线，绘制出著名的“托勒密地图”，虽然这个地图并不实用。
阿波罗尼奥斯
谈到运动轨迹的研究，就必然要涉及古希腊学者关于圆锥曲线的研究。据说，古希腊学者热衷于研究圆锥曲线是与倍立方问题有关，或者与日晷有关，日晷是古代的一种利用日影定时的仪器。圆锥曲线研究的集大成者是亚历山大图书馆的学者阿波罗尼奥斯（约公元前262-约前190），他的巨著《圆锥曲线论》对后世产生了很大的影响，并启发笛卡尔发明了直角坐标系。这部巨著共分8卷，含487个命题，前4卷是基础部分，后四卷是拓展，但最后一卷遗失了。《圆锥曲线论》这部书的思想非常深刻，但因为没有更多地使用数学符号和公式，特别是没有给出用于直观解释的图形，使人难以理解，现在书中的图形大多是后人根据书中的阐述补加的。
与欧几里得的《原理》一样，《圆锥曲线论》开宗明义给出了书中要讨论对象的定义，但阿波罗尼奥斯远没有欧几里得表达得清晰。关于圆锥的定义，参见图（1）
图（1）直圆锥
我们归纳如下：
对于给定圆心为O的圆，及圆所在平面外的一点A，连接点A与圆周上任意一点B，并向两端延长得到一条直线，称这条直线为母线。以固定点A为轴心，令母线沿圆周转动一圈回到点B，则母线的运动轨迹就得到两个曲面，称之为圆锥曲面。称A为圆锥的顶点，给定的圆为圆锥的底；如果AO垂直于底，称这个圆锥为直圆锥，否则称为斜圆锥。
如果用一个平面去截这个圆锥，因为平面与母线之间的夹角不同在圆锥曲线上可能截出不同的曲线，但就类型而言，可以得到三种曲线，统称为圆锥曲线。如果平面只与两个曲面的一个相交，那么分两种情况：平面与曲面截出一条开放曲线，即平面与母线都相交，则称这条曲线为抛物线。如果平面与两个曲面都相交，那么，平面与曲面截出两条对称的开放曲线，则称这两条曲线为双曲线。这三种圆锥曲线的名字都是阿波罗尼奥斯给出的，沿用至今。其中，椭圆英文为ellipse，源于希腊语ελλετΨҫ，意为“不足”“缺乏”，可以直译为“亏曲线”；双曲线英文为hyperbola，源于希腊语νπερβоλη，意为“优越”“超越”，亚里士多德曾经用过这个词，指天体与地平线的角距，在这里可以直译为“盈曲线”；抛物线英文为parabola，源于希腊语παραβоλη，意为“并列”“相对照”柏拉图曾经用过这个词，指两个天体处同一经线，在这里可以直译为“齐曲线”。
圆锥曲线论
阿波罗尼奥斯给出了这三种圆锥曲线的方程，我们知道，要把曲线的方程阐述清楚就必须利用坐标。下面以椭圆为例进行说明，这是在《圆锥曲线论》第1卷中命题13所讨论的，我们用现代语言和符号来阐述。设椭圆曲线上点的横坐标和纵坐标分别为x和y（书中没有明确给出坐标的定义，但已经明确地利用了坐标地思想），利用平行线和相似三角形地性质，可以得到下面的方程
y2=px-px2/2a (1)
其中，p为焦距，a为椭圆长轴的一半。阿波罗尼奥斯在《圆锥曲线论》第3卷中又专门讨论了椭圆和双曲线焦点的性质，得知p=2b2/a，其中b为椭圆短轴的一半。代入（1）式可以得到
y2/b2=2x/a-x2/a2 (2)
注意到，阿波罗尼奥斯得到上述结论，是把坐标的原点设定在椭圆的长轴的一端，如果把坐标原点设定在长轴的中心，即把x变为x a，则（2）式为
y2/b2=2(x a)/a-(x a)2/a2
整理以后就可以得到现代数学教科书中椭圆的标准方程
x2/a2 y2/b2=1
阿波罗尼奥斯得到的双曲线方程和抛物线方程分别为
y2=px px2/2a (3)
和
y2=px (4)
利用上面处理椭圆方程的方法，可以类似地得到现代意义上的双曲线和抛物线的标准方程。我们把（1）式和（3）式分别与（4）式比较，就可以知道阿波罗尼奥斯为什么把椭圆曲线叫做亏曲线，把双曲线叫做盈曲线，把抛物线叫做齐曲线。
下面，我们进一步讨论椭圆曲线。在现代的教科书中关于椭圆的定义为：
平面上，到两个点的距离之和为一个常数的动点的轨迹。
这个定义是1579年，由意大利数学家蒙地（1545-1607）给出的，事实上，阿波罗尼奥斯在《圆锥曲线论》中已经证明了这个结果。
比利时数学家丹德林（1794-1847）利用两个球给出了上述命题的一个非常直观的证明，后来人们称其为丹德林球。如图（2）所示
图（2） 椭圆定义的直观解释
在一个正圆锥中先放入一个小球，设这个小球与圆锥面相切得到的圆为ω；然后斜放入一个平面，设这个平面与圆锥面相交得到的曲线为α,同时，与小球的切点为O；最后放入一个大球，设这个大球与圆锥面相切得到的圆为ω’，与斜平面的切点为O’。很显然，圆ω所在平面与圆ω’所在平面是平行的。在曲线α上任取一点C，因为球外一点到球的切线均相等，因此CA=CO,CB=CO’，即点C到两个切点O和O’的距离之和总为一个常数，因此曲线α为一个椭圆，O和O’为焦点。
在上面的讨论中我们已经看到了解析几何的影子，但真正引发笛卡尔开始思考坐标系的是所谓“3条或4条直线的轨迹”的问题，阿波罗尼奥斯《圆锥曲线论》的第3卷的后半部分专门讨论了这个问题，问题可以描述如下：
“在平面上给定三条直线，令一动点到其中一条直线距离的平方，与到另外两条直线距离的积成正比，求这个动点的轨迹”
如果给定的是四条直线，那么，把到一条直线距离的平方改为到两条直线距离的积。阿波罗尼奥斯用几何的方法研究了这个问题，证明了这个动点的轨迹是圆锥曲线，并为自己能得到这个结论而感到骄傲，他的那本名著的序言中说：
“第3卷包含许多......令人不可思议的和最完美的定理，其中绝大部分都是新的，而且当我们掌握这些时便知道，欧几里得未曾作出的三线和四线轨迹，只有它的偶然的部分才被不很愉快地解出，因为没有我们所发现地事实它们就不可能被圆满解出”
几百年后，亚历山大图书馆晚期地数学家帕斯（约300-350）把这个问题推广到四条以上直线和任意给定角，后来人们称这样的问题为帕斯问题。笛卡尔对帕斯问题很感兴趣，正是在解决这个问题的过程中笛卡尔萌发了建立坐标系的构想，最终发明了解析几何。
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