肖博数学小题专练·(十四) 概率，我来为大家科普一下关于高中数学统计与概率大题 高中数学小题专练?以下内容希望对你有帮助!
高中数学统计与概率大题 高中数学小题专练
肖博数学小题专练·(十四) 概率
一、选择题
1.一枚硬币连掷 2 次，只有一次出现正面的概率为( )
A.
2
3
B.
1
4
C.
1
3
D.
1
2
答案 D
解析 一枚硬币连掷 2 次可能出现(正，正)、(反，反)、(正，反)、
(反，正)四种情况，只有一次出现正面的情况有两种，∴P=
2
4=
1
2，故
选 D。
2.若 A，B 是互斥事件，P(A)=0.2，P(A B)=0.5，则 P(B)等
于( )
A.0.3 B.0.7
C.0.1 D.1
答案 A
解析 由题意得，根据互斥事件的概率，可得 P(A B)=P(A)
P(B)，所以 P(B)=0.3，故选 A。
3.在区间
-
π
2，
π
2 上随机取一个数 x，则 cosx 的值在
0，
1
2 之间
的概率为( )
A.
1
3
B.
2
π
C.
1
2
D.
2
3
答案 A
解析 当 cosx 的值在
0，
1
2 之间时，x∈
-
π
2，-
π
3 ∪
π
3，
π
2 ，所
2
以所求的概率为
2×
π
2-
π
3
π
2-
-
π
2
=
1
3。
4.已知数列{an}满足 a1=2，an 1=-2an(n∈N*
)。若从数列{an}
的前 10 项中随机抽取一项，则该项不小于 8 的概率是( )
A.
3
10 B.
2
5
C.
3
5
D.
7
10
答案 B
解析 由题意可知 an=2·(-2)n-1，故前 10 项中，不小于 8 的只
有 8,32,128,512，共 4 项，故所求概率是 4
10=
2
5。
5.从x
2
m-
y
2
n=1(其中 m，n∈{-1,2,3})所表示的圆锥曲线(椭圆、
双曲线、抛物线)方程中任取一个，则此方程是焦点在 x 轴上的双曲
线方程的概率为( )
A.
1
2
B.
4
7
C.
2
3
D.
3
4
答案 B
解析 当方程x
2
m-
y
2
n=1 表示椭圆、双曲线、抛物线等圆锥曲线
时，不能有 m<0，n>0，所以方程
x
2
m-
y
2
n=1 表示椭圆、双曲线、抛物
线等圆锥曲线的(m，n)有(2，-1)，(3，-1)，(2,2)，(3,2)，(2,3)，(3,3)，
(-1，-1)，共 7 种，其中表示焦点在 x 轴上的双曲线时，则 m>0，
n>0，有(2,2)，(3,2)，(2,3)，(3,3)，共 4 种，所以所求概率 P=
4
7。
3
6.如图，圆 C 内切于扇形 AOB，∠AOB=
π
3，若向扇形 AOB 内
随机投掷 600 个点，则落入圆内的点的个数估计值为( )
A.100 B.200
C.400 D.450
答案 C
解析 如图所示，作 CD⊥OA 于点 D，连接 OC 并延长交扇形于
点 E，设扇形半径为 R，圆 C 半径为 r，∴R=r 2r=3r，∴落入圆内
的点的个数估计值为 600·
πr
2
1
6
π(3r)
2
=400。
7.已知集合 A={-2,3,5,7}，从 A 中随机抽取两个不同的元素 a，
b，作为复数 z=a bi(i 为虚数单位)的实部和虚部。则复数 z 在复平
面内的对应点位于第一象限的概率为( )
A.
1
2
B.
2
3
C.
3
4
D.
4
5
4
答案 A
解析 从集合 A={-2,3,5,7}中随机抽取两个不同的元素 a，b，
组成复平面内的对应点有(-2,3)，(-2，5)，(-2,7)，(3，-2)，(3,5)，
(3,7)，(5，-2)，(5,3)，(5,7)，(7，-2)，(7,3)，(7,5)，共 12 种;其
中位于第一象限的点有(3,5)，(3,7)，(5,3)，(5,7)，(7,3)，(7,5)，共 6
种。所以复数 z 在复平面内的对应点位于第一象限的概率为 P=
6
12=
1
2。
8.如图，已知圆的半径为 10，其内接三角形 ABC 的内角 A，B
的度数分别为 60°和 45°，现向圆内随机撒一粒豆子，则豆子落在△
ABC 内的概率为( )
A.
3 3
16π B.
3 3
4π
C.
4π
3 3
D.
16π
3 3
答案 B
解析 由正弦定理 BC
sinA=
AC
sinB=2R(R 为△ABC 外接圆的半径)，得
BC=20sin60°，
AC=20sin45°，
解得
BC=10 3，
AC=10 2，
则 S△ABC=
1
2×10 3×10 2sin75°=25(3 3)。于是，豆子落在△
5
ABC 内的概率为 P=
S△ABC
S圆
=
25(3 3)
102π =
3 3
4π 。
9.(2017·广州综合测试)五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前
放着完全相同的硬币，所有人同时抛出自己的硬币。若硬币正面朝上，
则这个人站起来;若硬币正面朝下，则这个人继续坐着。那么，没有
相邻的两个人站起来的概率为( )
A.
1
2
B.
15
32
C.
11
32 D.
5
16
答案 C
解析 假设有甲、乙、丙、丁、戊五个人按顺序围成一桌，五个
人同时抛出自己的硬币，基本事件总数共有 2×2×2×2×2=32(种)。
若五个人同时坐着有 1 种情况;若四个人同时坐着，一个人站着有 5
种情况;若三个人同时坐着，两个人站着有(甲丙、甲丁、乙丁、乙
戊、丙戊)5 种情况。没有相邻的两个人站起来的情况共有 1 5 5=
11(种)，故所求的概率为11
32，故选 C。
10.(2017·湖北七市联考)从数字 1,2,3,4,5 中，随机抽取 3 个数字
(允许重复)组成一个三位数，其各位数字之和等于 12 的概率为( )
A.
2
25 B.
13
125
C.
18
25 D.
9
125
答案 A
解析 从 5 个数字中任意抽取 3 个数字组成一个三位数，并且允
许有重复的数字，这样构成的数字有 5
3=125 个，但要使各位数字之
和等于 12 且没有重复数字时，则该数只能含有 3,4,5 三个数字，它们
6
有 345,354,435,453,534,543 共 6 种;若三位数的各位数字均重复，则
该数为 444，只有 1 种;若三位数中有 2 个数字重复，则该数为
552,525,255，有 3 种。因此，所求概率为 P=
6 1 3
125 =
2
25，故选 A。
11.(2017·云南省统一检测)在平面区域
x y-4≤0，
x>0，
y>0
内随机
取一点(a，b)，则函数 f(x)=ax2-4bx 1 在区间[1， ∞)上是增函数
的概率为( )
A.
1
4
B.
1
3
C.
1
2
D.
2
3
答案 B
解析 不等式组表示的平面区域为如图所示的△AOB 的内部及
边界 AB(不包括边界 OA，OB)，则 S△AOB=
1
2×4×4=8。函数 f(x)=ax2
-4bx 1 在区间[1， ∞)上是增函数，则应满足 a>0 且 x=
4b
2a
≤1，
即
a>0，
a≥2b，
可得对应的平面区域如图中阴影部分(包括边界 OC，
7
BC，不包括边界 OB)，由
a=2b，
a b-4=0，
解得 a=
8
3，b=
4
3，所以 S
△COB=
1
2×4×
4
3=
8
3，根据几何概型的概率计算公式，可知所求的概率
为
8
3
8=
1
3，故选 B。
12.《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代
表作。书中有如下问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几
何?”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为 5 步和 12 步，
问其内接正方形边长为多少步?”现若向此三角形内投豆子，则落在
其内接正方形内的概率是( )
A.
60
289 B.
90
289 C.
120
289 D.
240
289
答案 C
解析 如图，设 Rt△ABC 的两直角边长分别为 a，b，其内接正
方形 CEDF 的边长为 x，则由△ADF∽△ABC，得AF
AC=
DF
BC，即
a-x
a =
x
b，
解得 x=
ab
a b
。从而正方形 CEDF 的面积为 S 正方形 CEDF=
ab
a b
2，又
8
Rt△ABC 的面积为 S△ABC=
ab
2 ，所以所求概率为 P=
ab
a b
2
ab
2
=
2ab
(a b)
2=
2×5×12
(5 12)
2 =
120
289，故选 C。
二、填空题
13.将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有 1,2,3,4,5,6
个点的正方体玩具)先后抛掷 2 次，则出现向上的点数之和小于 10 的
概率是________。
答案 5
6
解析 基本事件共有 36 个。如下：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，
(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，
(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，
(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，其中满
足点数之和小于 10 的有 30 个。故所求概率为 P=
30
36=
5
6。
14.在长度为 10 的线段 AB 上任取一点 C(异于 A，B)，则以 AC，
BC 为半径的两圆面积之和小于 58π 的概率是________。
答案 2
5
解析 设 AC=x，则 BC=10-x,0
2 π(10
-x)
2<58π，即 x
2-10x 21<0，解得 3
7-3
10 =
2
5。
15.在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中，点 O 为底面 ABCD
的中心，在正方体 ABCD-A1B1C1D1内随机取一点 P，则点 P 与点 O
的距离大于 1 的概率为________。
9
答案 1-
π
12
解析 如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，与点 O 的距离等于
1 的点的轨迹是一个半球面，其体积 V1=
1
2×
4
3
π×1
3=
2π
3 。事件“点 P
与点 O 的距离大于 1 的概率”对应的区域体积为 2
3-
2π
3 。根据几何
概型概率公式，得点P与点O的距离大于1的概率P=
2
3-
2π
3
2
3 =1-
π
12。
16.已知函数 f(x)=cos
πx
6 ，集合 M={1,2,3,4,5,6,7,8,9}，现从 M
中任取两个不同的元素 m，n，则 f(m)·f(n)=0 的概率为________。
答案 5
12
解析 已知函数 f(x)=cos
πx
6 ，集合 M={1,2,3,4,5,6,7,8,9}，现从
M 中任取两个不同的元素 m，n，则 m=3,9 时，f(m)=cos
πm
6 =0，满
足 f(m)·f(n)=0 的个数为：m=3 时有 8 个，m=9 时有 8 个，n=3 时
有 8 个，n=9 时有 8 个，重复 2 个，共有 30 个。从 A 中任取两个不
同的元素 m，n，则 f(m)·f(n)的值有 72 个，所以从 M 中任取两个不同
的元素 m，n，使 f(m)·f(n)=0 的概率为 P=
30
72=
5
12。
10
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