一次函数与几何图形的综合考点(动点与特殊图形系列)(1)

中考解答压轴(动点与相似或三角函数)

(2019•营口)如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,点M是AB的中点,连接MC,点P是线段BC延长线上一点,且PC<BC,连接MP交AC于点H.将射线MP绕点M逆时针旋转60°交线段CA的延长线于点D.

一次函数与几何图形的综合考点(动点与特殊图形系列)(2)

图1

(1)找出与∠AMP相等的角,并说明理由.

(2)如图2,CP=0.5BC,求AD/BC的值.

(3)在(2)的条件下,若MD=(√13)/3,求线段AB的长.

一次函数与几何图形的综合考点(动点与特殊图形系列)(3)

图2

第一问

【图文解析】如下图示,∠AMP=∠DMP-∠DMA=60°-∠DMA=∠MAC-∠DMA=∠D(因∠MAC=∠DMA ∠D),即∠AMP=∠D.

一次函数与几何图形的综合考点(动点与特殊图形系列)(4)

第二问

(试题)如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,点M是AB的中点,连接MC,点P是线段BC延长线上一点,且PC<BC,连接MP交AC于点H.将射线MP绕点M逆时针旋转60°交线段CA的延长线于点D.

一次函数与几何图形的综合考点(动点与特殊图形系列)(5)

图1

(2)如图2,CP=0.5BC,求AD/BC的值.

【图文解析】过点C作CG∥AB交MP于点G,如下图示,根据平行线的性质,结合(1)的结论可得∠CGM=∠D;易证∠PMD=CMA,得∠CMG=∠AMD;由已知,易证CM=AM=0.5AB.综上,根据AAS,可证△CMG≌△AMD,得CG=AD.

一次函数与几何图形的综合考点(动点与特殊图形系列)(6)

由CG∥AB,得△PCG∽△PBM,得CG/BM=PC/PB=0.5BC/(0.5BC BC)=1/3.如下图示,设CG=AD=m,则BM=3m,AB=6m,在Rt△ABC中,∠B=30°,得AC=3m,由勾股定理,得BC=3√3m,所以AD/BC=m/(3√3m)=√3/9(注意含特殊角的直角三角形的常用结论).

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第三问

(2019•营口)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,点M是AB的中点,连接MC,点P是线段BC延长线上一点,且PC<BC,连接MP交AC于点H.将射线MP绕点M逆时针旋转60°交线段CA的延长线于点D.

(3)在(2)的条件下,若MD=(√13)/3,求线段AB的长.

一次函数与几何图形的综合考点(动点与特殊图形系列)(8)

图2

【图文解析】

法一:过点M作MN⊥AC于点N,结合(2),可得到如下图标注的结论.

一次函数与几何图形的综合考点(动点与特殊图形系列)(9)

根据勾股定理,得

一次函数与几何图形的综合考点(动点与特殊图形系列)(10)

解得m1=1/3,m2=-1/3(舍去).

所以AB=6m=2.

法二:如下图解(与法一本质相同)

一次函数与几何图形的综合考点(动点与特殊图形系列)(11)

法三:如下图示,

一次函数与几何图形的综合考点(动点与特殊图形系列)(12)

根据两角相等,得△MHA∽△DMH.

得MH/DH=AH/MH.

得MH2=AH•DH,

一次函数与几何图形的综合考点(动点与特殊图形系列)(13)

解得m1=1/3,m2=-1/3(舍去).

所以AB=6m=2.

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