均值方差的性质（如虚如实说你能确定吗）

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均值方差的性质（如虚如实说你能确定吗）(1)

《指南针与均值》（广东科学中心「院士说」| 指南针与平均值）一文介绍了均值。不过均值只描述了数组的平均趋向，不能说明数组的差异。

例如：

数组“1，2，3”的均值是：

数组“0，1，5”的均值也是：

我们怎样区别出这些数组的差异呢？这就需要方差了。

方差这一术语最早是由罗纳德·费雪（Ronald Fisher，1890—1962）提出的。费雪出生于英国伦敦一个富商家庭。他是家中的幼子，小时候最受父母和哥哥姐姐们的宠爱。然而在他14岁的时候母亲突然病故，接着父亲的生意失败，全家不得不从伦敦最好的区域搬到了最差的区域。他顶着这些突如其来的压力，在哈罗公学（Harrow School）赢得了他的第一个奖学金。费雪视力很差，不能在电灯下久读。因此他常常闭着眼睛用心算来解决他最喜欢的数学问题。1909年，费雪考入剑桥大学并获得奖学金。

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图1，年轻时的罗纳德·费雪

1918年,他在自己的一篇论文中第一次提出了方差（variance）的概念。他说在分析变异时既要考虑均值的差别，也要考虑均值偏差的平方值，这就是方差。

假定两个数组的差值为：

那么均值是：

方差是：

这里“n-1”称为自由度（degree-of-freedom）。因为在计算均值χ时，所有的数据都已经被使用了一次了，在计算方差时再使用这些数据，只有n-1个数据是独立的。因此自由度是n-1。否则计算就会有误差。在上面的例子中，数组“1，2，3”的方差是1；数组“0，1，5”的方差是7。

在数据分析时，方差非常重要。在上面的例子中，两组数据的均值都是2，但方差不同（图2）。方差大，结果可信度就低。

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图2，方差小（黄色曲线）与方差大（蓝色曲线）的区别

1919年，费雪在英国古老的洛桑农业实验站（Rothamsted Agricultural Experiment Station）找到一份稳定的工作。一天，费雪有礼貌地为他女同事穆里尔（Muriel Bristol）冲了一杯奶茶。穆里尔摇摇头说不喝。费雪觉得奇怪就追问为什么。穆里尔说她只喝先冲好茶再放牛奶的奶茶，而费雪先放了牛奶再加茶，顺序错了，味道不好。费雪认为牛奶先放后放，搅拌一下就是一样的了，没有区别。穆里尔坚持说她能分辨出来。这时，穆里尔的男友来了，他建议做个实验。于是，费雪冲了8杯奶茶，4杯先冲茶再放牛奶，4杯先放牛奶再冲茶。他把这8杯奶茶随机地给穆里尔品尝，穆里尔正确地分辨了所有的奶茶。费雪嘟囔着说这是不可能的，但也只好认输。

今天我们知道，牛奶中的蛋白和脂肪是憎水的，在热水的作用下会蜷曲起来生成小滴。但其中的乳清蛋白会在71℃左右分解，改变性质，发出焦糖的味道。当牛奶被倒进滚烫的热茶里时，飞溅而下的牛奶会快速分裂和分离，并浸润在热茶之中，进而导致大量的乳清蛋白分解。相比之下，将热茶倒进牛奶中，牛奶的表面会阻止了牛奶的分裂，从而最大限度地减少乳清蛋白的分解，因此也就没有了焦糖的味道。

费雪回去后做了一个估算，要凭运气准确地分辨出8杯奶茶的概率只有70分之一（你可以推算出来吗？）。所以穆里尔应该是能辨别出奶茶的味道。接着，他又计算出要凭运气在8杯奶茶中正确地分辨出6杯奶茶的概率是四分之一。不过此时辨别能力的置信度（confidence level）也打了折扣。费雪还想到了许多其他情况，如数据太少、品尝奶茶的顺序等等。

在过后的几个月里，他做了大量的奶茶实验和计算，并取得了突破性的成果。1921年，他提出了可能性（Likelihood）的概念。接着，他写了两本书：《研究人员的统计学方法》（Statistical Methods for Research Workers）和《实验设计》（The Design of Experiments）。在《研究人员的统计学方法》一书中，费雪定义了统计学的三个目标：

确定数据的采样空间（population）;
确定数据的分布（distribution）。
决定估计值（如均值、方差等统计值）；

书中还定义了一个以他的姓氏的第一个字母命名的概率分布F-分布。今天，这个分布是统计学中最常用的分布之一。

《实验设计》一开始就讲述了奶茶实验。接着讲述了好几种实验设计的方法。其中一个是用一个二值的指标X = {0，1}来预测一个二值的结果Y = {0，1}时会发生四种情况：

X = 0, Y = 0 （结果为阴性，预测也为阴性，真阴性，预测准确）；
X = 0，Y = 1 （结果为阳性，预测为阴性，假阴性，预测错误）；
X = 1，Y = 0 （结果为阴性，预测为阳性，假阳性，预测错误）；
X = 1，Y = 1 （结果为阳性，预测为阳性，真阳性，预测准确）。

假定这四种情况的概率如下表

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那么预测的精度就是：

预测的敏感度是：

预测的特异度是：

这三个指标都十分重要的，敏感度描述找出真阳性的概率，特异度描述找出真阴性的概率，缺一不可。例如，用发烧（X）来预测Covid-19病毒感染（Y），被病毒感染的未必发烧（FN），所以敏感度会不好。另一方面发烧的未必是由于病毒感染（FP），所以特异度也不好。

1933年，费雪回到剑桥大学，接替著名的统计学家卡尔·皮尔森（Karl Pearson，1857—1936）任讲座教授。皮尔森发明了相关系数（correlation coefficient）。他还在伦敦大学建立了世界上第一个统计学系，堪称统计学之父。但他曾经撰文批评过年轻的费雪。费雪一直耿耿于怀。费雪在剑桥大学的时候，卡尔·皮尔森的儿子埃贡·皮尔森（Egon Pearson，1895—1980）也在剑桥大学任讲座教授。埃贡·皮尔森发明了假设检验（Hypothesis Testing）的方法，是著名的统计学家。费雪和他的关系也不好。

1957年费雪从剑桥大学退休。1959年闲不下来的他去了澳大利亚工作。1962年在那里去世。他是研究统计学的，知道吸烟与癌症的关系。但却一直酷爱抽他的烟斗，最后死于癌症。

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