四期班、仿真模拟：7月18日开课
试讲篇目十三
《船有触礁的危险吗》
（初中数学）
【参考设计】
01
开场白
各位评委老师：
大家好！我是初中数学组XX号考生，今天我试讲的内容是《船有触礁的危险吗》，下面开始我的试讲。
02
创设问题情境，引入新课
师：直角三角形就像一个万花筒，为我们展现出了一个色彩斑澜的世界，我们在欣赏了它神秘的“勾股”、知道了它的边的关系后；
接着又为我们展现了在它的世界中的边角关系，它使我们现实生活中不可能实现的问题，都可迎刃而解；
它在航海、工程等测量问题中有着广泛应用，例如测旗杆的高度、树的高度、塔高等。
师：下面我们就来看一个问题：
海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁，今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续往东航行；
你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗？你是如何想的？在小组内进行交流。
师：下面就请同学们用锐角三角函数知识解决此问题。（板书：船有触礁的危险吗）
03
讲授新课
师：我们注意到题中有很多方位，在平面图形中，方位是如何规定的？
师：嗯，老师听到A同学说应该是“上北下南，左西右东”。大家说他说的对不对呀。
师：好，现在请同学们根据题意在练习本上画出示意图，然后说明你是怎样画出来的。
师：都画好了吗，我们请一位同学来说说你是怎么画的。
师：B同学你来说，嗯，他说首先将小岛A确定，货轮B在小岛A的南偏西55°的B处，C在B的正东方，且在A南偏东25°处。
师：货轮要向正东方向继续行驶，有没有触礁的危险，由谁来决定？
师：C同学说根据题意，小岛四周10海里内有暗礁，那么货轮继续向东航行的方向如果到A的最短距离大于10海里，则无触礁的危险；
如果小于10海里则有触礁的危险，A到BC所在直线的最短距离为过A作AD⊥BC，D为垂足，即AD的长度。
我们需根据题意，计算出AD的长度，然后与10海里比较。
师：C同学分析得很好，能将实际问题清晰条理地转化成数学问题。下面我们就来看AD如何求。根据题意，有哪些已知条件呢？
师：已知BC=20海里，∠BAD=55°，∠CAD=25°，还有两个直角三角形Rt△ABD和Rt△ACD，你能在哪一个三角形中求出AD呢？
师：D同学说在Rt△ACD中，只知道∠CAD=25°，不能求AD。
师：E同学说在Rt△ABD中，知道∠BAD=55°，虽然知道BC=20海里，但它不是Rt△ABD的边，也不能求出AD。
师：那该如何是好？是不是可以将它们结合起来，站在一个更高的角度考虑呢？
师：哦，F同学说他发现这两个三角形有联系，AD是它们的公共直角边，而且BC是这两个直角三角形BD与CD的差，即BC=BD-CD。BD、CD的对角是已知的，BD、CD和边AD都有联系。
师：有何联系呢？
师：F同学说在Rt△ABD中，tan55°=
，BD=ADtan55°；在Rt△ACD中，tan25°=
，CD=ADtan25°。利用BC=BD-CD就可以列出关于AD的一元一次方程，即ADtan55°-ADtan25°=20。
师：太棒了！没想到方程在这个地方帮了我们的忙，其实，在解决数学问题时，很多地方都可以用到方程，因此方程思想是我们初中数学中最重要的数学思想之一。下面我们一起完整地将这个题做完。
解：过A作BC的垂线，交BC于点D，得到Rt△ABD和Rt△ACD，从而BD=ADtan55°，CD=ADtan25°，由BD-CD=BC，又BC=20海里，得：
ADtan55°-ADtan25°=20
AD（tan55°-tan25°）=20
AD=
≈20.79（海里）
这样AD≈20.79海里＞10海里，所以货轮没有触礁的危险。
师：接下来，我们再来研究一个问题。还记得本章开头小明要测塔的高度吗？现在我们来看他是怎样测的，并根据他得到的数据帮他求出塔的高度。
师：小明想测量塔CD的高度，他在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至B处，测得仰角为60°。那么该塔有多高？（小明的身高忽略不计，结果精确到1m）
师：我想请一位同学告诉我什么是仰角？在图中，30°的仰角、60°的仰角分别指哪两个角？H同学你来说一说。
师：H同学说当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角。30°的仰角指∠DAC，60°的仰角指∠DBC。
师：说的非常好，请坐！现在同学们独立思考一下解决这个问题的思路。
师：我们来一起跟着老师做一做，看你是否做对了。首先，我们可以注意到CD是两个直角三角形Rt△ADC和Rt△BDC的公共边，在Rt△ADC中，tan30°=
，即AC=
，在Rt△BDC中，tan60°=
，即BC=
，又∵AB=AC-BC=50m，得
=50，解得CD≈43（m），即塔CD的高度约为43m。
师：E同学说他有一个问题，小明在测角时，小明本身有一个高度，因此在测量CD的高度时应考虑小明的身高。同学们都想到这一点了吗？
师：E同学能根据实际大胆地提出质疑，很值得赞赏。在实际测量时，的确应该考虑小明的身高，更准确一点应考虑小明在测量时，眼睛离地面的距离。
如果设小明测量时，眼睛离地面的距离为1.6m，其他数据不变，此时塔的高度为多少？你能画出示意图吗？
师：E同学说由前面的解答过程可知CC'≈43m，则CD=43 1.6=44.6m，即考虑小明的高度，塔的高度为44.6m。
师：E同学说的非常对！同学们的表现都太棒了。
04
随堂练习
师：现在我手里有一个楼梯改造工程问题，想请同学们帮忙解决一下：某商场准备改善原来楼梯的安全性能，把倾角由40°减至35°，已知原楼梯长为4m，调整后的楼梯会加长多少？楼梯多占多长一段地面？（结果精确到0.01m）
师：请同学们根据题意，画出示意图，将这个实际问题转化成数学问题，先独立完成，然后相互交流，讨论各自的想法。
3.解释最后的结果
师：嗯，A同学举手了，我们让A同学来分享一下他的思路吧。
他说根据题意可画示意图，其中AB表示楼梯的高度，AC是原楼梯的长，BC是原楼梯的占地长度；
AD是调整后的楼梯的长度，DB是调整后的楼梯的占地长度，∠ACB是原楼梯的倾角，∠ADB是调整后的楼梯的倾角，转化为数学问题即为：AB⊥DB，∠ACB=40°，∠ADB=35°，AC=4m。求AD-AC及DC的长度。
师：大家说A同学说的对不对呀，那我们给A同学鼓鼓掌！
师：老师看到有的同学已经开始动手计算了，其他还没有开始的同学可要抓紧时间了啊，老师相信同学们都能完美的解决这个问题。
05
课时小结
师：本节课我们运用三角函数解决了与直角三角形有关的实际问题，提高了我们分析和解决实际问题的能力。
师：其实，我们这一章所学的内容属于“三角学”的范畴，请同学们阅读课外延伸“读一读”，了解“三角学”的发展，相信你会对“三角学”更感兴趣。
06
课后作业
师：请同学们完成课后习题1、2小题，并及时复习本节所学知识。同学们，下课！
07
板书设计
船有触礁的危险吗
1.根据题意，画出示意图，将实际问题转化为数学问题
2.用三角函数和方程的思想解决关于直角三角形的问题
3.解释最后的结果
我的试讲到此结束，谢谢各位评委老师的聆听。
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