根式的乘法
我们知道，在讨论根式的恒等变形的时候，经常要限制在算术根的范围内，限定被开方数为非负数，即双重非负性。那么由此我们可以有以下的：
- 乘积的算术根，等于乘积中各个因式的同次算术根的乘积；
- ,分式的算术根，等于分子的同次算术根除以分母的同次算术根；
- 幂指数和根指数的相约法则；
- 根式的开方法则；
- 根式的乘方法则；
- 自根号内提出因子的法则；
- 将因子放进根号的法则；
算术平方根的知识点
若进入上述的公式内的数不都是非负数，这些根式运算法则可能不成。
为了更牢固地掌握算术根的概念，对于这类根式，我们应当扩大讨论a的取值范围，再不能把a限定在非负数(即a≥0)的范围内。事实上，当a<0时,是有意义的。那么当a<0时,的值不应是a,而必须写成: 。随着所学代数、三角知识的增多，会碰到更多的类似的求值问题。如果对这类根式求值问题不予重视，不反复巩固练习，弄清规律，往往不能求出正确的根式值。
下面拟举出几种容易被学生搞错的类似的根式求值问题，以帮助大家正确解答。
1、对往往容易写成。忽略了0<x<1时， lgx是负值。实际上，
2、对于，相信也往往容易直接写成，,不认真考考a与b的取值范围不同，的值也不同。
- ①当a>1,b≥1时，;
- ②当a>1, 0<b<1时，;
- ③当0<a<1,b>1时,;
- ④当0<a<1,0<b≤1时,。
这四种情况能否分辨得清楚，关键在于牢固地掌握了对数的基本概念和算术根的基本概念，才能正确地进行解答。
3、对于,大家也会忽略sinx中x所在的区间，锴误地写成,,应当首先考虑x在哪个象限，当x在Ⅰ、Ⅱ象限及x=Kπ (K为整数)时，sinx为非负，,而当x在Ⅲ、IV象限时，sinx为负， 。 同样对、也应分别讨论x所在象限，确定cosx、tanx值的负和非负。
4、大家往往容易写成,忽略了a b<0的可能性。a b<0的可能性是.由①a、b同时为负。②a与b异号，且为负的一个数的绝对值大，这种情况所决定的。当a b<0时,。为了加深理解，可以指导讨论a b<0的条件。.
5.对于更应认真分析。因为极易简单地写成。 事实上:
( 1)当a>1,且i)bc>1时， 原式=。ii)当0<bc<1时，原式= ,
(2)当0<a<1,且i)bc>1时,原式= 。ii) 0<bc<1, 原式= 。
6、，只是α在第I象限时，而当α在第三象限时sinα cosα<<0正确答案应为一(sinα cosα)而当α在Ⅱ、IV象限时就很复杂了。当 (k=0、1、2...）正确答案应是sinα cosα。当,sinα cosα<<0 正确答案是一 (sinα cosα)。当时，sinα cosα<<0 正确答案是一 (sinα cosα)，当,正确答案应为sinα cosα。
7、对于、、等这类根式大家往往误认为sinα sinβ, cosα cosβ,tanα tanβ,不小于零。不知道它们均存在为负的情况。如果α、β同在Ⅲ、IV 象限时可知sinα sinβ<0。α和β中只有一个在第Ⅲ或第IV象限时问题就复杂了。如果这个为负的三角函数值绝对值大的话，此题答案为一(sinα sinβ) 至于、等也应作类似的分析，从而确定答案。
8、对 大家往往会忽略了a-b<0这种可能性，而只写成。应当懂得当a-b<0 (即a<b)时
9、对于,大家往往容易写成1g2 -1g5。 实际上，当a>1时，是单调增函数,因为Ig5>lg2,所以.
10、对于,大家往往容易解答成。不知道当0<a<1时,是单调减函数。应该牢记，当0<a<1, b>c>0 时；,所以
11、大家对 这一步是能正确解答的，但是在求根式值时，则可能忽略当0<x<10的可能性，错误地解答成1gx-1。同样对于象 或这类问题在算出, 时，会忽略以及这两种情况，不知道，。而对于这类根式计算问题更为复杂,要分别讨论a、x的不同取值范围，从而确定是否小于零，一定要明确是存在着小于零的可能性。因此，像这类根式的答案应为。
12、当0<x<1时，大家会忽略了尽管将化成一步，但最后却错误地解答成。当x<-1时即所以当0<x<1或x<-1时，正确答案应为。通过此题的讨论，我们就进行讨论。讨论为负的可能性，这就可回顾二次函数的有关知识。
13、对于这一根式，大家往往不知道当0<a<1,n>0时， 。 而错误地解答成.事实上当0<a<1, n>0时, .
14、 当0≤β≤α≤π时。大家又往往容易错误地写成不知道在[0,π]这一区间，余弦函数是递减的。同样对, 当时,大家又往往容易错解成忽略了在正弦函数是递增的。而对也往往会忽略 tanα-tanβ<0 的可能性。
15、在求时，要牢牢记住当时，cosα -sinα<0不能将答案写成同样当时，的答案不能写成(其余三个象限的论讨大家可以自己动手论证)。
16、对这类根式，要懂得，因为cosx的最大值是1,所以cosx-2<0,因此,.
此外还可以列举出诸如因为sinx的最大值是1 ,1-sinx≥0。
要正确解答上述各类根式题的关键是要能正确判断被开方数究竟为负还是非负。要对这些数深入地进行分析研究。考虑为负、非负的可能性。还必须要对二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等定义域、值域、增减性有足够的了解，和算术根的概念结合在一起反复练习，才能熟练准确地判断出根号内的数是负还是非负，正确地求出算术根。
本文摘录自数学通报1980年第一期，《由所想到的》，肖逊
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