求解线性定常微分方程:
给定输入量和初始条件便可以对微分方程求解。
线性定常微分方程的求解方法有经典发和拉式变换法两种,经典法对于求2阶以下系统比较方便,但对于高阶微分方程的求解非常困难,而拉式变换法对求解高阶微分方程更加方便;
已知二阶系统,L=1H,C=1F,R=1Ώ,电容上初始电压Uo(0)=0.1V,初始电流i(0)=0.1A,电源电压Ui(t)=1V,求电路突然接通电源时电容电压Uo(t)。
RLC无源电路的二阶微分方程为:
令Ui(s)=L[Ui(t)],Uo(s)=L[Uo(t)],由拉式变换微分性质:
电压Uo(t)的导数在t=0时的值:
由此获得二阶微分方程的拉式变换公式:
求得Uo(s):
求取分母多项式的极点:
电路突然接通电源,Ui(t)可以认为阶跃输入信号,Ui(t)=1(t),Ui(s)=1/s,对Uo(s)求取拉式反变换:
上式中第一项的拉式反变换为:
该项为网络输入电压产生的输出分量,与初始条件无关,称为零状态响应;
上式中第二项的拉式反变换为:
该项由初始条件产生的输出分量,与输入电压无关,称为零输入响应;
因此,非零初始条件下单位阶跃响应输出Uo(t)为零状态响应和零输入响应的叠加之和:
如果输入电压为单位脉冲δ(t),Ui(s)=L[δ(t)]=1,网络输出称为单位脉冲响应,第一项零状态响应公式变为:
零输入响应与零状态响应无关,因此零输入响应保持不变。总的网络单位脉冲响应输出为:
用拉氏变换法求解线性定常微分方程的过程归纳如下:
1, 考虑初始条件,对微分方程中的每一项分别进行拉氏变换,将微分方程转换为变量s的代数方程;
2, 由代数方程求出输出量拉氏变换函数的表达式;
3, 对输出量拉氏变换函数求反变换,得到输出量的时域表达式,即为所求微分方程解。
微分方程解的运动模态:
线性微分方程的解由特解和齐次微分方程的通解组成,通解由微分方程特征根所决定,称为瞬态分量,表示解随时间瞬时变化过程,也称为自由运动,特征根的类型和特征根的重根数对自由运动的形态产生不同的影响,单重实数根的运动模态是按指数规律衰减的瞬态分量;单重复数共轭根的运动模态是按指数规律衰减的震荡瞬态分量;多重根的运动模态不仅按指数规律衰减,而且还与时间乘积有关。
对于一般的微分方程式,拉氏变换反变换的求解方程总结为:
令拉氏代数方程的特征根为:
则求解拉氏反变换:
工程中,通常定义β=180-θ,则上式也可以写为
上图说明了阶跃响应对应的两种运动模态,曲线①表示震荡衰减输出响应曲线,曲线②表示按指数衰减输出响应曲线。绿色坐标表示输出响应坐标,黑色坐标表示运动模态坐标;输出响应曲线是特解与通解的和;
,