抛物线及其标准方程ppt(抛物线讲义六)(1)

34 证明 A’C’/BA’=B’A/B’C’=BC/CA’。

35 求满足A’C’/BA’=B’A/B’C’=BM/MA’且A’B’M,C’A’B,C’B’A共线的动点M的轨迹。判定并证明A’B’与轨迹的位置关系。

36 切点三角形面积和外切三角形面积之比是否为定值

37 对于抛物线上定点AB,在AB内部的抛物线上求点C,使得△ABC面积最大

38 设△ABC’面积为1,请计算抛物线与AB围成的弓形的面积。

抛物线及其标准方程ppt(抛物线讲义六)(2)

34 证明 A’C’/BA’=B’A/B’C’=BC/CA’。

证明:

则由上节结论6知相应坐标为

抛物线及其标准方程ppt(抛物线讲义六)(3)

即A’C’/BA’=B’A/B’C’=BC/CA’。

抛物线及其标准方程ppt(抛物线讲义六)(4)

35 求满足A’C’/BA’=B’A/B’C’=BM/MA’且A’B’M,C’A’B,C’B’A共线的动点M的轨迹。判定并证明A’B’与轨迹的位置关系。

证明:

设A’C’/BA’=B’A/B’C’=BM/MA’=k,

抛物线及其标准方程ppt(抛物线讲义六)(5)

即A’B’斜率恰为抛物线经过M点的切线斜率,

故A’B’与抛物线相切于M。

注:

1)此结论在意料之中,只需照猫画虎、按部就班的把上题证明倒着写一遍即可。不难想象,本题还能进一步推广为:

对给定三角形C’AB,满足A’C’/BA’=B’A/B’C’=BM/MA’且A’B’M,C’A’B,C’B’A共线的动点M的轨迹为一条与C’A,C’B,相切于A,B的定抛物线。进一步,A’B’始终与此抛物线相切。不过要注意的是一般的抛物线方程未必是标准方程,可能会比较复杂。

2)不难发现,性质31中的RQ其实就满足上述比例关系,因此RQ为抛物线的切线。

36 切点三角形面积和外切三角形面积之比是否为定值

思路一:直接用坐标算出两个三角形的面积公式。先得到一般的任意三角形的面积公式,然后代入即可。

解法一:

抛物线及其标准方程ppt(抛物线讲义六)(6)

抛物线及其标准方程ppt(抛物线讲义六)(7)

下面回到本题,将本题中ABC,A’B’C’坐标代入上述公式即得

抛物线及其标准方程ppt(抛物线讲义六)(8)

抛物线及其标准方程ppt(抛物线讲义六)(9)

思路二:利用结论33,将本题可以转化为平面几何面积问题,只需要设出比例,利用比例关系计算相应面积即可。

解法二:

利用结论33,令A’C’/BA’=B’A/B’C’=BC/CA’=k,则

抛物线及其标准方程ppt(抛物线讲义六)(10)

故[ABC]=2[A’B’C’],即切点三角形面积为外切三角形面积的2倍。

注:

(1) 上述引理的面积表达式优美而且重要,证明也比较自然而简洁,就是用割补法表达出面积即可算得。当然熟悉行列式的读者应该知道,此面积可以用行列式简单明了的表达出来,

考虑到中学生一般都没接触过行列式,这里就不再赘述。感兴趣的读者可以自行查阅相关资料。特别的,当三角形的一个顶点为原点时,此面积表达式只有两项,是一个教材中的常见的结论。

(2) 需要说明的是,考虑到坐标可能会出现负值,上述面积表达式最好带上绝对值,例如细心的读者会发现本题后面的面积表达式的符号是相反的。其实可以不引入绝对值,引入有向面积会更合理。类似于三角函数中正角的规定,我们规定,逆时针旋转的三角形的面积为正的,顺时针旋转的三角形面积为负值。这样就能发现本题中两个三角形因为旋转方向相反,所以比值为负值,其实这样的规定更合理,而且更精确。

(3) 本结论是抛物线一个优美而深刻的性质。特别的,当C为AB中点时,则A’,B’也为中点,

就得到前面的结论6,即C’C为中线,并能进一步得到中线C’M中点也在抛物线上且过此点的抛物线的切线和AB平行,当然也能计算得到。

(4) 上述证法二是面积法的常用技巧,其中第一个面积公式因为三个三角形底边相同,故本质是线段的定比分点公式,这是基础而常见的结论。

(5) 由上述证法二可以得到一个一般的平面几何问题,即:

如图,BEA,AFC,EDF共线,且BE/EA=AF/FC=ED/DF。

求证:[DBC]=2[AEF]。

抛物线及其标准方程ppt(抛物线讲义六)(11)

37 对于抛物线上定点AB,在AB内部的抛物线上求点C,使得△ABC面积最大

抛物线及其标准方程ppt(抛物线讲义六)(12)

思路一:

利用36题中得到的三个点的面积公式,得到一个二次函数,用均值不等式或者对称轴即能解决。

抛物线及其标准方程ppt(抛物线讲义六)(13)

思路三:

利用几何意义,本题相当于求AB弧内部到AB距离最大的点,将AB平移,则当距离最大时,此直线会和抛物线相切,从而只需求切线斜率和AB相同的点C即可。

解法三:

抛物线及其标准方程ppt(抛物线讲义六)(14)

注:

上述三种解法殊途同归,结果很好理解,就是上题中当C’C为C’AB中线时,取得最大值。前两种解法都是化为二次函数,用均值不等式或者对称轴解决,解法三利用几何意义,结论似乎显然,也是最常见的解决方法。不过严格上说证明并不是很严谨。不难发现本结论也和前面结论8暗合。

抛物线及其标准方程ppt(抛物线讲义六)(15)

38 设△ABC’面积为1,请计算抛物线与AB围成的弓形的面积。

抛物线及其标准方程ppt(抛物线讲义六)(16)

思路:考虑上题结论中的特例,当C’C为中线时,则△ABC面积为0.5.

继续如法炮制,过A’,B’作x轴平行线,则和抛物线围成的面积是剩下面积的1/4,

如此反复操作,每次新增加的面积都是上一个面积的1/4,得到一个无穷递缩等比数列,

求和即得。

解:考虑36题结论中的特例,当C’C为中线时,则[△ABC]=1/2.

继续如法炮制,过A’,B’作x轴平行线,交抛物线于A’’,B’’.

则同理有

抛物线及其标准方程ppt(抛物线讲义六)(17)

即抛物线面积为2/3.

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