讲解曲线（从曲线到曲面续）

话题：#数学# #微分几何# #曲面论#

小石头/编

将三维曲线 r(t) = (x(t), y(t), z(t)) 中的参数 t ∈ ℝ 升级为 t=(u, v) ∈ ℝ² 就得到了曲面，

r(t) = r(u, v) = (x(t), y(t), z(t))= (x(u, v), y(u, v), z(u, v))

再把任意二维曲线 ω(t) = (u(t), v(t))，通过 t = ω(t) 带入曲面，则得到曲面内的一条曲线，

r(t) = r(ω(t)) = (x(u(t), v(t)), y(u(t), v(t)), z(u(t), v(t)))

于是，对于曲面 r(u, v) 上任意一点 P，根据曲面在P点处的微分定义：

讲解曲线（从曲线到曲面续）(1)

知，曲面内过 P点的曲线 r(t) 在 P点处的微分就是，

dr(t) = rᵤdu rᵥdv

du = u'(t)dt，dv= v'(t)dt

进而有，

r'(t) = dr(t)/dt = rᵤdu/dt rᵥdv/dt ①

这里的 r'(t) 是曲线 r(t) 在 P 点处的切向量，同时也是曲面 r(u, v) 在 P 点的切向量。

考虑，曲面在 P 点处的所有切向量，不妨设 P=r(u₀, v₀)，则分别取 ω₁(u) = (u, v₀) 和 ω₂(v) = (u₀, v) 则可得到曲面内过 P 点的两条特殊曲线，

u-曲线：r(u) = r(ω₁(u)) = r(u, v₀)；
v-曲线：r(v) = r(ω₂(v)) = r(u₀, v) ；

对于它们有，

r'(u) = rᵤdu/du rᵥdv₀/du = rᵤ

r'(v) = rᵤdu₀/dv rᵥdv/dv = rᵥ

这说明 rᵤ 和 rᵥ 分别是 u-曲线和 v-曲线的切向量，故也是曲面在 P 点的切向量。

讲解曲线（从曲线到曲面续）(2)

我们要求，

rᵤ 和 rᵥ 线性无关；

于是 ① 表明，任何曲面在 P 点的切向量都可以被 rᵤ 和 rᵥ 线性表示，故这些切向量的全体是一个二维向量空间， rᵤ 和 rᵥ 是该空间的基。 rᵤ 和 rᵥ 与 P 点构成一个平面坐标系（不一定是直角），其确定的平面被称为 切平面 。

又令，

N = rᵤ × rᵥ， n = N/|N|

分别被称为曲面在 P 点的 法向量 和 单位法向量 ，它们所在直线称为法线垂直于切平面。

设 Q 是曲面 r(u, v) 上 P 点附近的另外一点，考虑如下两个问题，

求曲面内 P 和 Q 之间的弧长 σ；
求 Q 到 P 点的切平面距离 ρ；

讲解曲线（从曲线到曲面续）(3)

问题 1：

对于任意过 P 和 Q 点的曲面内曲线 r(t) ，我们利用正篇开始的结论，有，

(ds)² = dr∙dr = (rᵤdu rᵥdv) ∙ (rᵤdu rᵥdv) = rᵤ∙rᵤ (du)² 2rᵤ∙rᵥ dudv rᵥ∙rᵥ (dv)²

于是，记，

讲解曲线（从曲线到曲面续）(4)

并且，不妨设 P = r(t₀)， Q = r(t₁)，则有，

σ = ∫t₀ᵗ¹ √Ⅰ = ∫t₀ᵗ¹ √[E(du)² 2Fdudv G(dv)²] = ∫t₀ᵗ¹ √[E(u'(t)dt)² 2F u'(t)dt v'(t)dt G(v'(t)dt)²] = ∫t₀ᵗ¹ √[Eu'(t)² 2F u'(t)v'(t) Gv'(t)²] dt

称Ⅰ为曲面的 第一基本形式。

问题 2：

显然 ρ 是向量 PQ 在 n 上的投影，而任取曲面内过 P 和 Q 点的曲线 r(s) ，s 是自然参数，不妨设 P = r(s)，Q=r(s Δs)，则根据泰勒公式有，

PQ = r'(s Δs) - r'(s) = r'(s) Δs r''(s) (Δs)²/2 o( (Δs)²)

又注意到，

r' ⊥ n ⇒ r'∙n =0

于是，

ρ = PQ∙n = (r'(s) Δs r''(s) (Δs)²/2 o)∙n = r''(s) ∙n (Δs)²/2 o( (Δs)²)∙n

考虑到 Q 在 P 点附近，有 o → 0， Δs = ds，进而，

ρ ≈ r''∙n (ds)²/2 = d²r/(ds)²∙n (ds)²/2 = n∙d²r/2

再有，

d²r= d(rᵤdu rᵥdv) = d(rᵤdu) d(rᵥdv) = drᵤdu rᵤd²u drᵥdv rᵥd²v = (rᵤᵤdu rᵤᵥdv)du rᵤd²u (rᵥᵤdu rᵥᵥdv)dv rᵥd²v = rᵤᵤ(du)² 2rᵤᵥdudv rᵥᵥ(dv)² rᵤd²u rᵥd²v

因，

rᵤ, rᵥ⊥ n ⇒ rᵤ∙n = rᵥ∙n =0

故，

n∙d²r = n∙(rᵤᵤ(u')² 2rᵤᵥu'v' rᵥᵥ(v')² rᵤu'' rᵥv'')∙n = n∙rᵤᵤ(u')² 2n∙rᵤᵥu'v' n∙rᵥᵥ(v')²

于是，记，

讲解曲线（从曲线到曲面续）(5)

则有，

ρ ≈ Ⅱ/2

称 Ⅱ为曲面的 第二基本形式。

分别称 P点处的法线和切线的方向为曲面 r(u, v) 在 P 点的 法方向 和 切方向。

显然，同一条切线上的所有切向量确定同一切方向，又对于曲面内曲线 r(t) = r(ω(t))，由 ① 有，

r'(t) = rᵤdu/dt rᵥdv/dt = dv/dt (rᵤdu/dv rᵥ)

而，我们知道，

向量数乘后要么同方要么反向，向量始终保持在一条直线上；

所以上式说明，每个切方向由比例 du:dv 唯一给出。

不放设 T = (u₀, v₀)， P=r(T) ，于是有，

du:dv = (u'(t)dt):(v'(t) dt)=u'(t):v'(t)

而 ω'(t) = (u'(t), v'(t))，这说明 du:dv 由 ω 在 ℝ² 内的 Q 点处的切向量 ω'(t) 决定。又取 ω(v) = (u(v), v)，则，du:dv = u'(v) ，进而令 u(v) = kv，则 du:dv = k，这说明 ℝ² 中的每条过 T 点的直线决定曲面的一条过 P 点的切方向。

考虑曲面内曲线 r(t) 在 P 点处的 Frenet 标架。

讲解曲线（从曲线到曲面续）(6)

α 显然属于切平面，于是 α ⊥ n ，而且 α 还确定一个切方向 du:dv。

曲率 κ 表示的是曲线 r(t) 向 β 方向的弯曲程度，而 β 可以是垂直 α 的任意方向，于是 κ 在法线方向和切平面上就会产生两个投影，分别记为 κn 和 κg；显然有，

κn = kβ∙n

称 κn 为 法曲率；而令 ε = α × n 则有，

κg = kβ∙ε

称 κg 为 测地曲率。

让曲线 r(t) 切换为自然参数 r(s)，则 kβ = r''，于是，

Ⅱ/Ⅰ= r''∙n (ds)² / (ds)² = r''∙n = kβ∙n = κn

进而，

κn = Ⅱ/Ⅰ= [L(du)² 2Mdudv N(dv)²]/[E(du)² 2Fdudv G(dv)²] = [L(du/dv)² 2Mdu/dv N]/[E(du/dv)² 2Fdu/dv G]

可见 κn 完全由 du:dv 和具体曲线 r(t) 的选取无关，也就是说：

法曲率表征的是曲面在 P 点处沿着 du:dv 切方向的弯曲程度，和曲面内的曲线无关。

不难看出：

当 κn > 0 时，曲面向 n 的正方向弯曲；
当 κn < 0 时，曲面向 n 的反方向弯曲；
当 κn = 0 时，曲面是平面；

称由 P 点处的法方向和任意切方向确定的平面为 法截面，法截面和曲面的交线称为 法截线。法截线是法截面内平面曲线，故 β 在法截面，即，β 和 n 共面，而 β，n ⊥ α，于是 β ∥ n，故 κn = ±k；而 κg = 0，可见法截线在曲面内是直线。

我们知道曲率的倒数称为曲率半径，对于曲线来说，我们通过曲率半径在 P 点的密切平面内可以构造一个曲率圆，它形象的表示了曲线在 P 点处的弯曲程度，那么对于曲面，法曲率半径又能构造什么呢？

曲面 r(u, v) 在 P 点的切平面内，以 P 为原点，以 rᵤ 和 rᵥ 为坐标轴，构成一个坐标系，于是 dr = rᵤdu rᵥdv 就是以 P 为起点，以(du, dv) 为终点的切向量，以其为方向，以切方向 du:dv 对应的法曲率半径的绝对值方根（即， √|1/κn|）为长度，可确定一个线段 PN。

讲解曲线（从曲线到曲面续）(7)