几乎从一出生开始,我们就开始接触数学,甚至比接触语文还要早。到了牙牙学语的时候,爸妈主动教我们认数字,然后是简单的加减法。到了学龄阶段,数学也是与语文同等重要的学科。

古代人类对数学也非常痴迷,热衷于研究数学。古代人类一直相信整数看起来如此优美,肯定可以代表宇宙中的所有事物。

数学史上的四次危机(盘点人类数学史上三次危机)(1)

但是,随着一次意外地发现,完全颠覆了古人类对数学的认知。

在研究等腰直角三角形时,人们发现,如果三角形的直角边是1,那么斜边长就是根号2。但是当人们想知道根号2到底是一个什么数时,就开始“恐惧”起来。

数学史上的四次危机(盘点人类数学史上三次危机)(2)

人们发现,不管如何计算,根号2好像永远算不到尽头一样,人们第一次认识到了无理数的存在。无理数的发现也彻底打破了人们对自然界中整数的优美认知。

但人们不可能对无理数视而不见,而是开始摆脱对整数的追求,进而研究无理数。无理数的存在也让人们第一次开始思考有关无穷的概念。

最典型的就是“在“芝诺悖论”,具体是这样的。

数学史上的四次危机(盘点人类数学史上三次危机)(3)

你和一只乌龟赛跑,你的速度是乌龟的10倍,但乌龟的起点在你前方100米。当你跑100米来到乌龟起点的时候,乌龟跑了10米。当你跑10米时,乌龟跑了1米。当你跑1米的时候,乌龟跑0.1米......

能够看出,你跑的距离永远是乌龟之前跑的距离,也就是说,你永远追不上乌龟。

但现实中我们都知道,你很快就会追上并超越乌龟。古代人类开始思考无穷的概念,如果按照上面的思路,很容易陷入悖论中不能自拔。但仔细思考就能看出悖论的问题所在。对路程的无限细分意味着需要无穷多的时间,但是你的时间总是有限的,你肯定不能在有限的时间里做无穷多的事情。当然,用如今我们知道的极限概念更容易理解。

对无穷概念和无理数的思考也让人类化解了第一次数学危机。直到两千多年之后,第二次数学危机才悄然降临,也就是微积分思想。

在牛顿时代,人们还没有完全理解0和无穷下之间的关系,没有彻底搞清楚积分,微分还有导数的真正含义。

数学史上的四次危机(盘点人类数学史上三次危机)(4)

比如说在研究曲线上某个点的切线斜率时,如今我们知道可以在切点上取一个边长无限小的直角三角形,用这个三角形的斜边就可以代替切线斜率。

但是人们的心里面总是有一道过不去的坎:总是认为无论直角三角形有多么小,斜边也不可能真的是切线斜率。两者总是有误差的,不能画等号。

直角三角形的斜边可以无限靠近切线斜率,但两者永远不会相同。这就像如今很多人还在质疑的一个问题很类似:0.999......和1到底是不是相等的问题。

这就是数学史上的第二次危机,根本还在于人们对微积分的理解有偏差。

第三次数学危机发生在第二次数学危机的两百多年之后。主要是关于集合论的辩论。最著名的就是“罗素悖论”。

数学史上的四次危机(盘点人类数学史上三次危机)(5)

举个简单的例子,一个非常牛逼的理发师打出一个条幅,条幅上写着:给所有不能给自己理发的人理发!

那么问题来了:这个牛逼的理发师能不能给自己理发呢?

数学史上的四次危机(盘点人类数学史上三次危机)(6)

如果能,就与宣传广告发生矛盾了:给不能自己理发的人理发,但理发师能自己给自己理发。如果不能,也不行,因为理发师说了能给自己不能理发的人理发。

罗素悖论听起来更像是一种诡辩,对集合论定义的诡辩。不过即使是真的是诡辩,人们至今也没能很好地解释这样的诡辩的问题到底出在哪里。

数学史上的四次危机(盘点人类数学史上三次危机)(7)

就像人们网络上经常会遇到的一个问题:上帝能无所不能的,那么上帝能制造出一个他自己搬不动的石头吗?与上面的理发师问题一样,无论能或者不能,都会出现矛盾。

从哲学上分析,罗素悖论其实是唯心主义与唯物主义的争论。

数学史上的四次危机(盘点人类数学史上三次危机)(8)

如果你是唯心的,你会认为世界都是你的表象,世界只是你意识幻想出来的虚拟环境。于是问题出现了:“你”本身是不是意识虚幻出来的呢?如果是,“你”对“你的概念”的质疑是不是也是虚幻出来的呢?如果也是,那么“你”对“你质疑你的概念”的质疑是否也是虚幻出来的呢......

如此一直下去,没有尽头。最本质的一个问题是:“你”本体到底在哪里?说白了,“你”到底是怎么存在的?

通俗理解,上面的矛盾是这样出现的:你总是首先把你自己置身在某个事件之外,不过换个角度,你自己其实也身在事件之中。所以问题就演变为:你本身到底是在事件之外还是事件里面?

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